三次函數(shù)圖象性質(zhì)的研究和應(yīng)用舉例

鄒立國(guó)

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；三次函數(shù)；圖象；性質(zhì)；應(yīng)用

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G6３3.６

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 Ｃ

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2012）１２—0083—０2

三次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題在近些年的高考中頻繁出現(xiàn)，甚至出現(xiàn)在壓軸題中，但教材只從求導(dǎo)、求極值、求單調(diào)區(qū)間等角度進(jìn)行一些零碎的、淺顯的探索.為此，本文試圖用初等數(shù)學(xué)方法較為系統(tǒng)地研究它的圖象、性質(zhì).

一、三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象性質(zhì)

1．定義域?yàn)镽

2．值域?yàn)镽

3．單調(diào)性

因?yàn)?，f′（x）＝３ax２+2bx+c，所以?駐=4b2-12ac=4（b2-3ac），于是：

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，

①當(dāng)b2-3ac＞0時(shí)，方程f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2（不妨設(shè)x1＜x2），則f′（x）=3ac2+2bx+c的圖象如下圖1所示，三次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖2所示：

■

不難得到：y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，x1）∪（x2，+∞）上是增函數(shù)，在[x1，x2]上是減函數(shù).

②當(dāng)b2-3ac=0時(shí)，方程f′（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，f′（x）=3ax2+2bx+c的圖象如圖3所示，三次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖4所示：

■

可知y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是增函數(shù).

③b2-3ac＜0時(shí)，方程f′（x）=0沒(méi)有實(shí)根，且f′（x）＞0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是增函數(shù).

（2）當(dāng)a＜0時(shí)

①當(dāng)b2-3ac＞0時(shí)，方程f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2（不妨設(shè)x1＜x2），則f′（x）=3ax2+2bx+c的圖象如下圖5所示，三次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖6所示：

■

不難得到：y=ax3+bx2+cx+d在[x1，x2]上是增函數(shù)，在（-∞，x1）∪（x2，+∞）上是減函數(shù).

②當(dāng)b2-3ac=0時(shí)，方程f′（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，f′（x）=3ax2+2bx+c的圖象如圖7所示，三次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖8所示：

■

可知y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是減函數(shù).

③b2-3ac＜0時(shí)，方程f′（x）=0沒(méi)有實(shí)根，且f′（x）＜0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是減函數(shù).

4．三次方程的實(shí)根

（1）當(dāng)b2-3ac＞0時(shí)，方程f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，結(jié)合前面性質(zhì)3易知：

①當(dāng)f（x１）·f（x２）＞0時(shí)，方程f（x）=0有1個(gè)實(shí)根；②當(dāng)f（x１）·f（x２）=0時(shí)，方程f（x）=0有2個(gè)實(shí)根；③當(dāng)f（x１）·f（x２）＜0時(shí)，方程f（x）=0有3個(gè)實(shí)根.

（2）當(dāng)b2-3ac≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（-∞, +∞）上是單調(diào)函數(shù)，方程f（x）=0有1個(gè)實(shí)根.

5．奇偶性

（1）假設(shè)f（x）為偶函數(shù)?圳f（－x）＝f（x）恒成立?圯2ax3+2cx=0恒成立?圯a=c=0，而a≠0，所以f（x）不可能是偶函數(shù).

（2）假設(shè)f（x）為奇函數(shù)?圳f（－x）＝-f（x）恒成立?圯2b2+2d=0恒成立?圯b=d=0，所以b=d=0時(shí)，f（x）是奇函數(shù)，此時(shí)f（x）=ax3+cx.

6．圖象的對(duì)稱(chēng)性

將y=ax3+bx2+cx+d變形為：y=a（x+■）3＋（c-■）（x+■）＋■，而y=ax3+（c-■）x是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是（－■，■）.

二、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

例1已知函數(shù)f（x）＝■x3-（4m-1）x2+（１５m2-2m-7）x+3在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：∵三次函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，

∴b2-3ac≤0,即［-（４m-1）］2-3×■×（１５m2-2m-7）≤0，得2≤m≤4.

例2設(shè)函數(shù)f（x）＝x3-（m+1）x2+mx（m＞1)，x１，x２是f（x）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若不等式f（x１）＋f（x２）≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：f（x）=x3-（m+1）x2+mx，又f（x1）+f（x2）≤0，即極大值和極小值之和小于等于0，所以中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上或x軸下方，故

■=■≤0，即2m2-5m+2≥0，

解得m≥2或m≤■ (舍去) ，所以m的取值范圍為m≥2.

編輯：謝穎麗