探究函數(shù)的對(duì)稱(chēng)之“美”

吳熙玲

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線(xiàn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，也是競(jìng)賽的焦點(diǎn)內(nèi)容之一。函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱(chēng)性往往能更簡(jiǎn)潔地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱(chēng)關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美?，F(xiàn)擬通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱(chēng)性這兩個(gè)方面來(lái)探討函數(shù)與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的性質(zhì)。

一、函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性探究

定理1 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱(chēng)的充要條件：f(x)+f(2a-x)=2b。

證明 （必要性）設(shè)點(diǎn)P（x,y)是y=f(x)的圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(a,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)的圖像上，∴2b-y=f(2a-x)，即y+f(2a-x)=2b。

故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y=f(x)的圖像上任一點(diǎn)，則y0=f(x0)。

∵f(x)+f(2a-x)=2b,

∴f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0)。

故點(diǎn)P′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)的圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱(chēng)，充分性得證。

推論 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(x)+f(-x)=0。

定理2 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。（證明留給讀者）

推論 函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(x)=f(-x)。

定理3 ①y=f(x)的圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)和點(diǎn)B(b,c)成中心對(duì)稱(chēng)(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。

②y=f(x)的圖像同時(shí)關(guān)于直線(xiàn)x=a和直線(xiàn)x=b成軸對(duì)稱(chēng)(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。

③y=f(x)的圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a,c)成中心對(duì)稱(chēng)又關(guān)于直線(xiàn)x=b成軸對(duì)稱(chēng)(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明。

∵函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,c)成中心對(duì)稱(chēng)，

∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x，得

f(2b-x)+f［2a-(2b-x)］=2c。

（1）

又 ∵y=f(x)的圖像同時(shí)關(guān)于直線(xiàn)x=b成軸對(duì)稱(chēng)，

∴f(2b-x)=f(x)代入（1），得

f(x)=2c-f［2(a-b)+x］。

(2）

用2(a-b)+x代x，得

f［2(a-b)+x］=2c-f ［4(a-b)+x］代入（2），得：

f(x)=f［4(a-b)+x］, y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期。

二、不同函數(shù)之間對(duì)稱(chēng)性的探究

定理4 函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)。

定理5 ①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a成軸對(duì)稱(chēng)。

②函數(shù)y=f(x)與a-x=f(a-y)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x+y=a成軸對(duì)稱(chēng)。

③函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x-y=a成軸對(duì)稱(chēng)。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③。

證明 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y=f(x)的圖像上任一點(diǎn)，則y0=f(x0)。記點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線(xiàn)x-y=a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(x1,y1)，則x0=a+y1,

y0=x1-a。

∴代入y0=f(x0)之中，得x1-a=f(a+y1)。

∴點(diǎn)P1(x1,y1)在函數(shù)x-a=f(y+a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x-a=f(y+a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x-y=a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論 函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=y成軸對(duì)稱(chēng)，即原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=y成軸對(duì)稱(chēng)。

三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性

函數(shù)y=sinx對(duì)稱(chēng)軸方程：x=kπ+π2，對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為(kπ,0)。

y=cosx對(duì)稱(chēng)軸方程：x=kπ，對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為kπ+π2,0。

y=tanx對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為kπ2,0,k∈Z。

四、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用典例賞析

例1 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)=f(1-x),當(dāng)-1≤x≤0時(shí)， f(x)=-12x，則f(8。6)=