復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)中幾種思維習(xí)慣的培養(yǎng)

曾婷 李俊鋒

【中圖分類號(hào)】O174.5-4

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【基金項(xiàng)目】湖南城市學(xué)院精品課程資助項(xiàng)目（2011-92）

一、引 言

“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程是許多理工科專業(yè)學(xué)生必修的專業(yè)基礎(chǔ)課,學(xué)好它將為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).它尤其是工科相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能理解復(fù)變函數(shù)的一些理論和方法，掌握解析函數(shù)、柯西定理、留數(shù)、共形映射以及傅里葉變換與拉普拉斯變換等基礎(chǔ)內(nèi)容，同時(shí)能利用這些基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題.由于它的實(shí)用性，我校數(shù)學(xué)系的學(xué)生選用本課程為專業(yè)課，它的前繼課程為數(shù)學(xué)分析等.

除了內(nèi)容的教學(xué)，我們更應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的一些好的思維習(xí)慣以及教師本身的良好的教學(xué)思維，因?yàn)榻虒W(xué)過程是學(xué)生和老師互動(dòng)的過程.與書本內(nèi)容的教學(xué)相比，我們更加重視對(duì)思維的培養(yǎng)，這也不失我們?nèi)诵曰虒W(xué)的初衷.我們不一定非要得出多么驚世駭俗的想法，但我們深信，好思維會(huì)讓學(xué)生透徹、全面地掌握所學(xué)的知識(shí)，有助于他們?nèi)ニ伎紗栴}、研究問題，甚至冒出一些創(chuàng)造性的靈感.對(duì)教師而言，好的教學(xué)習(xí)慣會(huì)讓老師與學(xué)生之間更加融洽，更容易地傳授知識(shí).

二、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維

注重開闊學(xué)生的視野，別讓思維停留在前面的課程內(nèi)容或方法中.在以前的學(xué)習(xí)中，負(fù)實(shí)數(shù)的二次方根是不存在的，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)卻存在，也應(yīng)讓思維發(fā)生改變.此外，在教學(xué)過程中，我從下面幾個(gè)例子可以看出，還有許多地方需要培養(yǎng)學(xué)生的思維.

1.思維的轉(zhuǎn)變

我們選用教材中無窮大與復(fù)球面這一節(jié)，我們看看無窮大是怎樣定義的：無窮大為一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)，記為∞，由∞=10定義.同時(shí)定義了它和有限數(shù)的四則運(yùn)算.∞+∞，∞∞等無意義，且無窮大的實(shí)部、虛部和輻角都無意義.在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生牢記：0不能去除別的數(shù)，即0不能為除數(shù)，但在復(fù)變函數(shù)里，卻成為了可能.無窮大是一個(gè)很重要的性態(tài)，應(yīng)理解和接受這個(gè)新的定義，這就須要改變一下陳舊的思維.

2.思維的開闊

在復(fù)變函數(shù)與積分變換的前繼課程中，我們一般是在平面坐標(biāo)系中研究問題，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的全體與所有的復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，整個(gè)坐標(biāo)平面為復(fù)平面.學(xué)生對(duì)復(fù)平面這個(gè)概念不難理解，且對(duì)于任給的一個(gè)有限復(fù)數(shù)，都能在復(fù)平面上找到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn).但我們不滿足于此，因而把無窮大加到復(fù)平面中，變成了擴(kuò)充復(fù)平面，這種擴(kuò)充是很有必要的，便于在幾何中全面地研究復(fù)數(shù).從后面講到共形映射這一節(jié)便可看出，分式線性映射一般都是基于擴(kuò)充復(fù)平面來研究的.要理解這個(gè)新概念，就應(yīng)在思維的“擴(kuò)充”上多下工夫.老師要提醒學(xué)生開闊思維，去想象復(fù)平面是如何擴(kuò)充的，但有些同學(xué)會(huì)覺得它比較抽象，甚至很想在紙上畫出無窮大這一點(diǎn)來.這時(shí)，應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生，這一點(diǎn)在平面上無法畫出，只是該平面上的每一條直線都通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（即與∞對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）.我們可以進(jìn)一步放寬思維，將復(fù)數(shù)放到一個(gè)球面上來研究，可以采用多媒體的手段，將此復(fù)球面顯示在幻燈片上，而且可清晰地將復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)球面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，尤其是強(qiáng)調(diào)無窮大這一點(diǎn).只有將思維放寬了，才能更好地理解復(fù)數(shù)及其幾何意義.否則，若局限在以前的書本，不能將思維拓展到擴(kuò)充復(fù)平面上，那么，我們即便知道無窮大的存在，也總會(huì)覺得它無處“安放”.

另外，復(fù)變函數(shù)中有一個(gè)很重要且應(yīng)用性很強(qiáng)的定理——最大模原理，若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且f(z)不是常數(shù)，則在D內(nèi)|f(z)|沒有最大值.在實(shí)際中我們可以體會(huì)到它的涵義.比如在流體力學(xué)里面，平面穩(wěn)定流動(dòng)在無源無旋的區(qū)域時(shí)，流速的最大值不能在區(qū)域內(nèi)達(dá)到.此時(shí)，學(xué)生應(yīng)拓寬思維，想象一下：它能否在邊界上達(dá)到呢？事實(shí)證明，這一點(diǎn)可以做到，且流速的最大值只能在邊界上達(dá)到，當(dāng)然這也需要滿足一些條件的，如有界性、連續(xù)性等，這樣得到的結(jié)果比較容易令人接受.由區(qū)域內(nèi)到邊界上的這個(gè)過程，是需要學(xué)生充分地展開聯(lián)想的.

3.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要工具，在研究解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)，若能考慮得更全面，即將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也作為孤立奇點(diǎn)，則思維將更嚴(yán)謹(jǐn).學(xué)生在處理無窮遠(yuǎn)點(diǎn)這類問題時(shí)，往往比較棘手，但又是必須考慮的，我們引導(dǎo)學(xué)生將不熟悉的問題化為熟悉的問題，用學(xué)過的方法來研究.還有將留數(shù)推廣到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，等等.類似的情形很多.我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，這也是數(shù)學(xué)這門課對(duì)我們的要求.

4.培養(yǎng)應(yīng)用型思維

從理論到實(shí)踐，把復(fù)數(shù)的理論應(yīng)用到流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)等學(xué)科中，為科學(xué)研究作出一份貢獻(xiàn)，只有這樣，才能推動(dòng)理論的完善.

5.培養(yǎng)變換思維

在積分變換內(nèi)容里面，講到了傅里葉變換和拉普拉斯變換，從一個(gè)狀態(tài)過渡到另一個(gè)狀態(tài)，這中間需要變換，必定就離不開變換的思維.從變換的角度思考問題，會(huì)得到一些新的、令人感興趣的東西.

三、培養(yǎng)教師的教學(xué)思維

教師應(yīng)站在學(xué)生的立場，想象一下他們能不能真正地理解這些新的概念、定理、公式，從理論到實(shí)踐這一關(guān)能否順利通過，時(shí)常想學(xué)生之所想，急學(xué)生之所急，貫徹實(shí)施以人為本的教學(xué)理念，有利于教學(xué).

四、結(jié)束語

通過教學(xué)和討論等一系列實(shí)踐，我們?nèi)〉昧撕芎玫男Ч?，學(xué)生很主動(dòng)地探索、思考新事物，而不是被動(dòng)地接受那些定理、公式，更難得的是，我們的教學(xué)也為培養(yǎng)大學(xué)生的自學(xué)能力服務(wù).

總之，在教學(xué)中應(yīng)時(shí)刻注重思維的培養(yǎng)，在“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程中，只有解放思想，從以前的書本中跳出來，開闊思維，轉(zhuǎn)變思維角度，讓思維嚴(yán)謹(jǐn)，等等，才能真正學(xué)到復(fù)變函數(shù)的精華，才能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)帶給人們的這種精神：嚴(yán)謹(jǐn)和完美.很多時(shí)候，結(jié)果固然重要，但思維之花會(huì)開放得更加絢爛.