淺析數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

周華安

笛卡兒說過：“數(shù)學(xué)是使人變聰明的一門科學(xué)”，而數(shù)學(xué)思想是傳導(dǎo)數(shù)學(xué)精神、形成科學(xué)世界觀不可缺少的條件。數(shù)學(xué)思想反映著數(shù)學(xué)概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì)，是學(xué)生形成良好知識(shí)結(jié)構(gòu)的紐帶，是培養(yǎng)學(xué)生能力的橋梁。數(shù)學(xué)新大綱首次提出數(shù)學(xué)思想方法，許多專家認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法是人們?cè)谝簧袘?yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科中取之不盡、用之不竭的智慧源泉。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外，還應(yīng)重視在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中把握好數(shù)學(xué)思想，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

數(shù)和式是問題的抽象和概括，圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。華羅庚先生說得好：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好?！边@句話闡明了數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。學(xué)生掌握了這一思想要比掌握一個(gè)公式或一種具體方法更有價(jià)值，對(duì)解決問題更具有指導(dǎo)意義。比如在講“圓與圓的位置關(guān)系”時(shí)，我讓學(xué)生自制圓形紙板，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生首先從形的角度認(rèn)識(shí)圓與圓的位置關(guān)系，然后可激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)探索兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征。這種借助于形通過數(shù)的運(yùn)算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中要不失時(shí)機(jī)地滲透。這樣不僅可提高學(xué)生的遷移思維能力，還可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習(xí)慣。

2．化歸思想

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法體系主梁之一。在實(shí)數(shù)的運(yùn)算、解方程(組)、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等的教學(xué)中都有讓學(xué)生對(duì)化歸思想方法的認(rèn)識(shí)，學(xué)生有意無意接受到了化歸思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x²+y²的值，顯然直接代入無法求解，若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，則易得：原式＝9；又如“多邊形的內(nèi)角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決，這都是化歸思想在實(shí)際問題中的具體體現(xiàn)。化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解。實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。

3．方程思想

眾所周知，方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體，應(yīng)用十分廣泛，可謂數(shù)學(xué)大廈基石之一，在眾多的數(shù)學(xué)思想中顯得十分重要。所謂方程思想，主要是指建立方程(組)解決實(shí)際問題的思想方法。教材中大量出現(xiàn)這種思想方法。如列方程解應(yīng)用題，求函數(shù)解析式，利用根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系求字母系數(shù)的值等。教學(xué)時(shí)，可有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程。如我講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時(shí)，就啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項(xiàng)系數(shù)，可把他們看成三個(gè)“未知量”，告訴學(xué)生利用方程思想來解決，那學(xué)生就會(huì)自覺的去找三個(gè)等量關(guān)系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會(huì)顯得呆板、僵硬，學(xué)生只知其然，不知其所以然。與此同時(shí)，還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)思想，諸如換元，消元、降次、函數(shù)、化歸、整體、分類等思想，這樣可起到“撥亮一盞燈，照亮一大片”的作用。

4．整體思想

整體思想在初中教材中體現(xiàn)突出，如在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，常把數(shù)字與前面的“+，－”符號(hào)看成一個(gè)整體進(jìn)行處理；又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想，即一個(gè)字母不僅代表一個(gè)數(shù)，而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構(gòu)成的式子等；再如整式運(yùn)算中往往可以把某一個(gè)式子看作一個(gè)整體來處理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2視(a+b)為一個(gè)整體展開等等，這些對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高解題效率是一個(gè)極好的機(jī)會(huì)。

5．分類討論思想

分類討論即根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中，如果對(duì)學(xué)過的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性。例如，對(duì)三角形全等判別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分(邊或角)分別對(duì)應(yīng)相等，那么有哪幾種可能的情況？同時(shí)，教材中對(duì)處理幾種識(shí)別方法時(shí)也采用分類討論，由簡(jiǎn)到繁，一步步得出，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體驗(yàn)這種思想方法。

6．變換思想

變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價(jià)變換，幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想。具有優(yōu)秀思維品質(zhì)的一個(gè)重要特征，就是善于變換，從正反、互逆等進(jìn)行變換考慮問題，但很多學(xué)生又恰恰常忽略從這方面考慮問題，因此變換思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)重要武器。例：四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF。求證：DE＝BF。這道題若是由已知向后推理較難把握方向，但用變換方法尋找證法比較容易：要證DE＝BF，只要證△ADE≌△CBF(證△ABF≌△CDE也可)；要證△ADE≌△CBF，因題目已知BC＝DA，AE＝CF，只要證∠DAE＝∠BCF；要證∠DAE＝∠BCF，可由△ABC≌△CDA得到，而由已知條件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不難得到△ABC≌△CDA。這樣問題就解決了。

7．辯證思想

辯證思想是科學(xué)世界觀在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，是最重要的數(shù)學(xué)思想之一。自然界中的一切現(xiàn)象和過程都存在著對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，數(shù)學(xué)中的有理數(shù)和無理數(shù)、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等同樣蘊(yùn)涵著這一辯證思想。因此，教學(xué)時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地滲透。如初二《分式方程》一節(jié)，就體現(xiàn)了分式方程與整式方程的對(duì)立統(tǒng)一思想，我在教學(xué)時(shí)，不只簡(jiǎn)單介紹分式方程的概念和解法，而是滲透上述思想，從復(fù)習(xí)整式和分式的概念出發(fā)，然后依據(jù)辯證思想自然引出分式方程，接著帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)會(huì)兩個(gè)概念的對(duì)立性(非此即彼)和統(tǒng)一性(統(tǒng)稱有理方程)，再利用未知與已知的轉(zhuǎn)化思想啟發(fā)學(xué)生說出分式方程的解題基本思想，從而發(fā)現(xiàn)兩種方程在解法上雖有不同，但卻存在內(nèi)在的必然聯(lián)系。這樣，學(xué)生在知曉整式方程與分式方程概念和解法的辯證關(guān)系后，就能進(jìn)一步理解和掌握分式方程，收到深入淺出的教學(xué)效果。因此，抓辯證思想教學(xué)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí)，而且可提高學(xué)生的探索能力和觀察能力。

數(shù)學(xué)思想方法是在啟發(fā)學(xué)生思維過程中逐步積累和形成的。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先要特別強(qiáng)調(diào)解決問題以后的“反思”。其次要注意滲透的長(zhǎng)期性。只要切切實(shí)實(shí)把握好上述幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)思想，依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，有計(jì)劃地滲透，就一定能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。

（責(zé)任編輯全玲）