例析數(shù)列的定義證明

周忠雅

高中數(shù)學(xué)教材中，對等差、等比數(shù)列作了如下的定義：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫等差數(shù)列，常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差。一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列，常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比。在涉及用定義來說明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí)，很多時(shí)候往往容易忽略定義的完整性，現(xiàn)舉些例子加以說明。

例1 ：已知數(shù)列前n項(xiàng)和sn=n2+2n，求通項(xiàng)公式an，并說明這個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。

解：n=1時(shí)，a1=s1=1+2=3；n≥2時(shí)，an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，因?yàn)閚取1時(shí)，an=2×1+1=3=a1，所以an=2n+1，因?yàn)閚≥2時(shí)，an-an-1=2為常數(shù)，所以{an}為等差數(shù)列。

例2：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=n2+2n+4，(n∈N+)。⑴求該數(shù)列的通項(xiàng)。⑵證明：數(shù)列{an}除去首項(xiàng)后所成的數(shù)列a2,a3,a4…是等差數(shù)列。

解：⑴由sn與an的關(guān)系，an=s(n=1)s-s-1(n≥2)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=12+2×1+4=7.⑵當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+2n+4)-[(n-1)2+2(n-1)+4]=2n+1，∵n取1時(shí)，an=2×1+1=3≠a1 ，∴an=7(n=1)2n+1(n≥2)，∴an+1-an=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2,對于任意n≥2都成立，從而數(shù)列a2,a3,a4…是等差數(shù)列。

注：由于a2-a1=-2，故an+1-an=2不對任意n∈N成立，因此，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。

例3：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n 項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系3tsn-(2t+3)sn-1=3t，求證{an}為等比數(shù)列。

注：因?yàn)?tsn-(2t+3)sn-1=3t僅在n≥2時(shí)有意義，所以遞推公式3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t僅在n≥3時(shí)有意義。證明如下：n≥3時(shí)，3tsn-(2t+3)sn-1=3t，3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t，兩式相減得：3t(sn-sn-1)-(2t+3)(sn-1-sn-2)=0，即：3tan-(2t+3)an-1=0，所以=。（這只能說明從第二項(xiàng)開始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為定值，所以需要對第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的比另外加以證明，以達(dá)到定義的完整性。）

又因?yàn)閚=2時(shí)，3ts2-(2t+3)s1=3t，即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t，還因?yàn)閍1=1，所以3t+3ta2-(2t+3)=3t，所以a2=，所以=，所以對任意n≥2都有=為定值，所以{an}為等比數(shù)列。

總之，在用定義證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列的時(shí)候，一定要注意下標(biāo)n的取值范圍。不管是an-an-1、還是an-1-an-2、，或者其他情況，都要考慮定義的完整性，確保任何后一項(xiàng)與相鄰前一項(xiàng)的差（比）為定值，如有不全面的地方須另外加以補(bǔ)充。

（張家港職業(yè)教育中心校）