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    數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在高考解題中的兩類應(yīng)用

    2012-04-29 08:22:58羅為民
    甘肅教育 2012年18期
    關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)教學(xué)解題

    羅為民

    〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué);轉(zhuǎn)化思想;解題;應(yīng)用

    〔中圖分類號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

    〔文章編號(hào)〕 1004—0463(2012)18—0085—01

    數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法之一.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),我們應(yīng)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想,將陌生的“新問題”轉(zhuǎn)化為熟悉的“舊問題”,將“繁雜的問題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單的問題”,從而使問題迎刃而解.現(xiàn)將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在兩類高考解題中的應(yīng)用舉例說明如下,希望能對(duì)廣大學(xué)子們有所啟迪和幫助.

    結(jié)論一:已知函數(shù)y=f(x),x∈D(D是定義域),M∈R,且f(x)存在最值.

    (1)對(duì)?坌x∈D,f(x)≥M恒成立?圳f(x)min≥M,x∈D.

    (2)對(duì)?坌x∈D,f(x)≤M恒成立?圳f(x)max≤M,x∈D ;

    (3)對(duì)?坌x1、x2∈D,恒有│f(x1)-f(x2)│≤f(x)max-f(x)min成立.

    結(jié)論二:已知函數(shù)f(x),x∈D(D是定義域), M ∈R,且f(x)存在最值.

    (1)若?堝x∈D,使得f(x)≤M成立?圳f(x)min≤M,x∈D;

    (2)若?堝x∈D,使得f(x)≥M成立?圳f(x)max≥M,x∈D.

    例1已知f(x)=■x3-bx2+2x+a ,x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).

    (1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2) 若當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)-■>a2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    解:(1)f′(x)=x2-2bx+2,由已知得f′(2)=4-4b+2=0,故b=■.

    故f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),由f′(x)>0得x<1或x>2;由f′(x)<0得1

    (2)由(1)知f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)在x=2處取得最小值,f(x)min=f(2)=a+■.由x∈[1,+∞)時(shí),f(x)-■>a2恒成立?圳f(x)min-■>a2, x∈[1,+∞)?圳a>a2 ?圳0

    例2(2011年全國(guó)高考浙江卷) 設(shè)函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.

    (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)求所有的實(shí)數(shù)a,使得e-1

    解:(1)由已知得f′(x)=■-2x+a=-■ =-■,x∈(0,+∞).∵a>0,∴f(x)的增區(qū)間為(0,a),減區(qū)間為(a,+∞).

    (2)由題意得 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.∴[1,e]?奐(0,a),∴由(1)知f(x)在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增,故有 f(x)max=

    f(e)=a2-e2+ae,f(x)min=f(1)=a-1.

    故e-1例3已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x =±1處取得極值.

    (1)求函數(shù)f(x)的解析式;

    (2)求證:對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,都有 |f(x1)-f(x2)|≤4.

    解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依題意得f′(1)=f′(-1)=0,即3a+2b-3=3a-2b-3=0,解得a=1,b=0,故

    f(x)=x3-3x.

    (2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故當(dāng)x<-1或x>1時(shí),f′(x)> 0;當(dāng)-1

    ∴f(x)max=f(-1)=2,f(x)min=f(1)=-2.

    故對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,都有∣f(x1)-f(x2)∣≤f(x)max-f(x)min=2-(-2)= 4.

    總之,在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),只要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想,就能將問題化“新”為“舊”,化“繁”為“簡(jiǎn)”,化“陌生”為“熟悉”,數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,將在解決問題的過程中起到神奇的效果,從而使一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題迎刃而解,達(dá)到解決問題的目的.

    編輯:謝穎麗

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