談數(shù)學(xué)解題中的構(gòu)造法

陳東磊

摘要： 數(shù)學(xué)方法是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括.構(gòu)造法是以已知條件為原料，以所求答案為方向，構(gòu)造出一種人們更為熟悉的數(shù)學(xué)形式，把原本“山重水復(fù)疑無路”的局面變成“柳暗花明又一村”的景象，使得問題在新的形式下得到快捷的解決——用他山之石予以攻玉.構(gòu)造法的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉.這也是解答數(shù)學(xué)問題的共性之所在.通過巧妙地使用構(gòu)造法解答數(shù)學(xué)問題，能夠激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，對培養(yǎng)學(xué)生的多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益.

關(guān)鍵詞： 構(gòu)造法構(gòu)造方程構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造數(shù)列數(shù)學(xué)模型

“構(gòu)造法”指的是為解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要先構(gòu)造一種數(shù)學(xué)形式（比如幾何圖形、代數(shù)式、方程，等等），以此來尋求問題中的某種內(nèi)在聯(lián)系，使問題變得簡單明了，從而起到了化簡、轉(zhuǎn)化和橋梁的作用，進(jìn)而找到解決問題的思路、方法.歷史上不少數(shù)學(xué)家，如柯西、歐幾里得、歐拉、費(fèi)馬、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用構(gòu)造法成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題.運(yùn)用構(gòu)造法解題是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種有效方法.下面我簡單地舉例分析構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、“構(gòu)造法”在構(gòu)造方程中的運(yùn)用

例1：已知=1（a，b，c∈R），給出下列關(guān)于a、b、c的關(guān)系式：①b＞4ac；②b≥4ac；③b＜4ac；④b≤4ac.其中正確的是?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

分析過程：將已知的關(guān)系式整理為：a·（）-b·+c=0，這是一個(gè)根為的一元二次方程ax-bx+c=0，于是△=b-4ac≥0，故正確的是②.

總結(jié)：構(gòu)造方程是解數(shù)學(xué)問題的常用方法，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，如例1中關(guān)注到7=（），從而聯(lián)想構(gòu)造一元二次方程，這樣就在已知與待求之間搭上了橋梁，使解答更簡潔、合理.

二、構(gòu)造法在構(gòu)造函數(shù)中的運(yùn)用

解答證明柯西不等式時(shí)，構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)首先有2n個(gè)數(shù)b，b，b，…，b和a，a，a，…，a，構(gòu)造函數(shù)：當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=ax+2abx+b；當(dāng)n=2時(shí)，f（x）=ax+2abx+b，由此類推n個(gè)相加得到f（x）=（a+a+…+a）x+2（ab+ab+…+ab）x+（b+b+…+b）.因?yàn)閒（x）≥0恒成立，所以f（x）的判別式△≤0，即（ab+ab+…+anb）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），柯西不等式證明完畢.

數(shù)學(xué)構(gòu)造法在高中是很常見的，構(gòu)造函數(shù)常用來證明不等式.

三、“構(gòu)造法”在求數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用

例：若數(shù)列{a}中，a=3且a=a（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是a=?搖?搖?搖?搖.

解：由題意知a＞0，將a=a兩邊取對數(shù)得lg a=2lg a，即=2，所以數(shù)列{lg a}是以lg a=lg 3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，lg a=lg a·2=lg 3，即a=3.

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，作為常見的等差數(shù)列或等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些非等比等差數(shù)列要通過構(gòu)造才形成等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用相應(yīng)的通項(xiàng)公式求解，進(jìn)而求出原數(shù)列通項(xiàng)公式.

四、構(gòu)造代數(shù)式在計(jì)算中的妙用

小學(xué)奧數(shù)競賽中有一種速算.其中對一些特殊數(shù)字的計(jì)算，符合“同頭尾湊十”的兩位數(shù)乘法，要求快速給出答案.比如33×37=1221，42×48=2016等.這個(gè)積的前兩位是原兩位數(shù)的十位數(shù)字與比這個(gè)十位數(shù)字大1的數(shù)的積，后兩位是原兩位數(shù)兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積.小學(xué)生會對這樣的“神算”感到驚奇，無法理解其中的道理.其實(shí)，到了初中，利用構(gòu)造代數(shù)式，進(jìn)行變形化簡，可以很容易地解釋其中的道理.

假設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則這兩個(gè)兩位數(shù)分別為“10a+b”和“10a+（10-b）”；兩數(shù)的積為（10a+b）（10a-b+10）=100a-b+100a+10b=100a（a+1）+b（10-b）.得證.

以上是以代數(shù)式的變形來幫助學(xué)生解釋一些疑問.

五、構(gòu)造幾何圖形

對于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問題，要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，通過構(gòu)造適當(dāng)構(gòu)造出幾何圖形讓兩者聯(lián)系起來，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，增強(qiáng)問題的直觀性，使問題的解答事半功倍.

例4：已知|x-1|+|x-5|=4，則x的取值范圍是（?搖?搖?搖?搖）

A.1≤x≤5?搖?搖?搖?搖B.x≤1?搖?搖?搖?搖C.1＜x＜5?搖?搖?搖?搖D.x≥5

分析：根據(jù)絕對值的幾何意義可知：|x-1|+|x-5|=4表示數(shù)軸上到1與5的距離之和等于4的所有點(diǎn)所表示的數(shù).如圖3，只要表示數(shù)的點(diǎn)落在1和5之間（包括1和5），那么它到1與5的距離之和都等于4，所以1≤x≤5，故選A.

綜上所述，構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，滲透著猜想、試驗(yàn)、歸納等數(shù)學(xué)方法.構(gòu)造法除了要注重基礎(chǔ)知識和基本思想的落實(shí)，還要求我們敢于打破常規(guī)，注重知識前后之間的聯(lián)系與遷移、新舊知識之間的類比與轉(zhuǎn)化.

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)問題的解決中，不僅顯得靈活、簡便，而且往往是發(fā)現(xiàn)問題，找到解決問題途徑、方法的鑰匙.在平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識之余，應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)式的教學(xué).我們可從多角度啟發(fā)學(xué)生思維多變，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.

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