分段函數(shù)，一個(gè)不容忽視的函數(shù)

周艷麗

在實(shí)際生活和工作中，我們所遇到的實(shí)際問題對(duì)應(yīng)的建模函數(shù)都不是一些常見函數(shù)，而是分段函數(shù).分段函數(shù)不僅在生活和工作中有著舉足輕重的作用，在高考中為了用一個(gè)函數(shù)來考查多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，也只能借用分段函數(shù)這個(gè)載體來實(shí)現(xiàn).所以分段函數(shù)是高考中的寵兒，為了進(jìn)一步認(rèn)清它、了解它、解決它，本文特將分段函數(shù)的一些常見的題型及解法整理一下，僅供大家參考.

1.求分段函數(shù)的值

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+1，x≤1，2x，x>1，求f（f（3））.（2012江西高考文3）

分段函數(shù)的求值題是最常見的題型，每一年的高考題都會(huì)涉及，而這類問題的處理方法就是分段處理，把要求的值代到給定的范圍內(nèi)即可.先代入x=3，求出f（3）=23，再求f23=139.

說明 與分段函數(shù)有關(guān)的求值與不等式問題，都是分段函數(shù)分段處理，分段處理完以后，再綜合起來即可.

2.求分段函數(shù)的最值

例2 設(shè)函數(shù)gx=x2-2x∈R，fx=gx+x+4，x

方法1 先求每個(gè)分段區(qū)間上的值域，再比較得之.解x0，則x<-1或x>2.因此x≥gx=x2-2的解為-1≤x≤2.于是fx=x2+x+2， x<-1或x>2，x2-x-2， -1≤x≤2.

當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，x2-x-2=x-122-94，則fx≥-94，

又當(dāng)x=-1和x=2時(shí)，x2-x-2=0，

所以-94≤fx≤0.

綜上可得fx>2或-94≤fx≤0，因此fx的值域是-94，0∪2，+∞.

方法2 利用函數(shù)的單調(diào)性.由函數(shù)的解析式得知函數(shù)在區(qū)間-∞，-1是減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）是增函數(shù)，只能得到f（x）>2，再由函數(shù)在區(qū)間-1，-12是減函數(shù)，在-12，2是增函數(shù)，所以最小值是f-12，最大值是f（-1），f（2）中的一個(gè).因此fx的值域是-94，0∪2，+∞.

方法3 利用函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合.可根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖像，其值域一目了然.數(shù)形結(jié)合是解決分段函數(shù)的一個(gè)非常有效的方法.

說明 分段函數(shù)的最值的求法，通常用以上三種方法.

3.分段函數(shù)中的求參問題

例3 已知函數(shù)f（x）=2x，x≥2，ぃ▁-1）3，x<2，若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.（2011北京高考理13）

這個(gè)例題用的是函數(shù)與方程的思想，需要求出分段函數(shù)的值域，求值域的方法可以用上面的三種方法.f（x）=2x（x≥2）單調(diào)遞減且值域?yàn)椋?，1]，f（x）=（x-1）3（x<2）單調(diào)遞增且值域?yàn)椋?∞，1），f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）.

說明 分段函數(shù)的求參問題可以化為求值域或解不等式問題.

4.求分段函數(shù)的解析式

例4 根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為f（x）=c[]x，x

c[]A，x≥A，

（A，c為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，求c和A的值.（2011北京高考理6）

解 由條件可知，x≥A時(shí)所用時(shí)間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)必然滿足第一個(gè)分段函數(shù)，即f（4）=c[]4=30輈=60，f（A）=60A=15軦=16.

5.綜合應(yīng)用

例5 已知兩條直線l1：y=m和l2：y=82m+1（m>0），l1與函數(shù)y=log2x的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y=log2x的圖像從左至右相交于C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a，b，當(dāng)m變化時(shí)，求ba的最小值.（2012湖南高考8）

解 在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=82m+1（m>0），y=log2x的圖像如下圖，由log2x=m，得x1=2-m，x2=2琺，log2x=82m+1，得

a=2-m-2-82m+1，b=2琺-282m+1，ba=2琺-282m+12-m-2-82m+1=2琺282m+1=2琺+82m+1.

∵m+82m+1=m+12+4m+12-12≥4-12=312，∴ba璵in=82.

分段函數(shù)中還有一些常見的題型，比如求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還有一些分段函數(shù)與不等式結(jié)合的問題等等.希望本文能給大家?guī)硪稽c(diǎn)點(diǎn)的啟示.