淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

鮑春花

在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解.進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)它們的基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí).

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

類(lèi)型一 已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值.故f（x+1）=2（x+1）2+（x+1）+2=2x2+5x+5.

類(lèi)型二 設(shè)f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則.

二、二次函數(shù)的圖像、單調(diào)性與最值

在高中階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格地論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性.

類(lèi)型三 畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并通過(guò)圖像研究其單調(diào)性.

（1）y=x2+2|x|-1

（2）y=|x2-1|

（3）y=x2+2|x-1|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系.掌握把含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖像.

類(lèi)型四 利用函數(shù)圖像研究最值.

1.已知y=3x2-5x+6，求在下列區(qū)間上該函數(shù)的值域.

（1）R；（2）[-3，-1]；（3）[-2，2].

研究函數(shù)最值，離不開(kāi)定義域.首先要使學(xué)生弄清楚題意，作出在不同區(qū)間上拋物線的圖像，圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值.一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大值或最小值的情況也隨之變化，要充分借助圖像，數(shù)形結(jié)合求解.

2.設(shè)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）.

求g（t）并畫(huà)出y=g（t）的圖像.

解 f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時(shí)取最小值-2.

當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2.

當(dāng)t>1時(shí)，g（t）=f（t）=t2-2t-1.

當(dāng)t<0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t2-2.

g（t）=t2-2，（t<0），

-2，（0≤t≤1），

t2-2t-1，（t>1）.

本題中區(qū)間為動(dòng)區(qū)間，而對(duì)稱(chēng)軸為定軸，故需根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間位置關(guān)系加以分類(lèi)討論.若區(qū)間確定，而對(duì)稱(chēng)軸在變動(dòng)，解法的基本思想類(lèi)似，如：f（x）=x2+ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值g（a）.

三、二次函數(shù)的知識(shí)可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類(lèi)型五 已知二次函數(shù)f（x）=x2-2mx+1，其圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩旁，求m的取值范圍.

解題思路 根據(jù)題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)一元二次方程的根；②若方程f（x）=0的兩根為x1，x2，即可得到x1>1，x2<1.因此解題思路明顯有兩條：①利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系.②圖像法.

方法一 代數(shù)法

由題可設(shè)方程x2-2mx+1=0的兩根x1>1，x2<1，

∴x1-1>0，x2-1<0.

由根與系數(shù)關(guān)系知：x1+x2=2m，x1x2=1.

∴Δ=4m2-4>0，

（x1-1）（x2-1）=2-2m<0.

方法二 幾何法

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，y=f（x）是開(kāi)口向上的拋物線，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，

由圖可知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩側(cè)的充要條件是f（1）<0，從而解得m>1.該方法有效地利用了二次函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像的位置和函數(shù)值的符號(hào)解決問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合無(wú)處不在，大大提高了解題效率.

一元二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入.