等價無窮小的替換在加減法中的應用

羅誠 李莉

【摘要】眾所周知待定型極限的求法有很多種，其中利用等價無窮小替換的方法相當方便，往往能起到化繁為簡的作用.但美中不足的是在無窮小的乘法和除法中可以直接運用，而在加減法中應用卻不是很方便，這一點很多讀者都很難掌握，本文研究了無窮小及其性質(zhì)，旨在介紹一種在加減法中應用等價無窮小替換求待定型極限的方法.

【關(guān)鍵詞】極限；等價無窮小；主部；基本無窮小；替換

前 言

很多高等數(shù)學教材中都介紹了等價無窮小的替換在待定型極限中的應用，且給出了以下定理：已知α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），且limα′（x）[]β′（x）存在，則lim[α（x）·β（x）]=lim[α′（x）·β′（x）]，limα（x）[]β（x）=limα′（x）[]β′（x）.

該定理告訴我們，等價無窮小的替換可以用在無窮小的乘、除法中，但沒有告訴我們能不能用在加減法中，更沒有告訴我們在加減法中該如何用.

一、等價無窮小的性質(zhì)定理

定義1 在所研究的無窮小內(nèi)選出一個（比如α）作為一種標準，把它稱為基本無窮小.

基本無窮小的選取在某種程度內(nèi)是任意的，但通?？?cè)∽詈唵蔚模绫豢疾斓牧慷际莤的函數(shù)，而當x趨向于a時成為無窮小，那么根據(jù)a是零、是異于零的有限數(shù)或是無窮大，那么選取x，x-a，1[]x作為基本無窮小.

定義2 設(shè)α為基本無窮小，若limβ[]cα琸=1，則β～cα琸，那么稱與給定的無窮小β等價的這個簡單的無窮小cα琸為β的主部（或主項）.

定理1 已知兩無窮小β和γ的主部是cα琸及c′α琸′，若k≠k1，則β+γ可以分別用等價無窮小替換，且β+γ的主部為cα琸及c′α琸′中次方最低者.

證明 不妨設(shè)k

定理2 已知兩無窮小β和γ的主部是cα琸及c′α琸′且k=k′，若c+c′≠0，則β+γ的主部為（c+c′）α琸，即可以用等價無窮小進行替換；若c+c′=0（主部相消），則β+γ是比cα琸及c′α琸′更高階的無窮小，此時不可以用等價無窮小直接替換，應分別考慮更高階的無窮小進行替換.

證明 當c+c′≠0時，因為limβ+γ[]（c+c′）α琸=limβ[]（c+c′）α琸+limγ[]（c+c′）α琸=c[]c+c′+c′[]c+c′=1，所以β+γ的主部為（c+c′）α琸；當c+c′=0，因為limβ+γ[]cα琸=limβ[]cα琸+limγ[]cα琸=limcα琸[]cα琸+limc′α琸[]cα琸=limcα琸[]cα琸+lim-cα琸[]cα琸=1-1=0.

同理可得limβ+γ[]c′α琸=0.所以β+γ是比cα琸及c′α琸′更高階的無窮小.

二、待定型極限的求法舉例

例1 求limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2e4x-2的值.

解 limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2e4x-2=limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2（e4x-1）=limx→0x2-2x[]8x=-1[]4.

例2 求limx→0sin2x-tan3x[]（1+3x）2-1.

解 limx→0sin2x-tan3x[]（1+3x）2-1=limx→02x-3x[]6x=-1[]6.

例3 求limx→0tanx-sinxx3.

解 此題分子中tanx和sinx的主部都是x，明顯是主部相消，據(jù)泰勒公式有tanx=x+1[]3x3+o（x3），sinx=x-1[]6x3+o（x3）.

所以limx→0tanx-sinx[]x3=limx→01[]3x3--1[]6x3[]x3=1[]2.

【參考文獻】

[1]菲赫金哥爾茨著.微積分學教程（第一卷）.北京：高等教育出版社，2006.

[2]李宗成，李國.泰勒公式在無窮小（大）量階的估計中的應用.高等數(shù)學研究，1996（2）.

[3]吳漢華.關(guān)于無窮小的等價替換及其推廣.閩西職業(yè)技術(shù)學院學報，2005（2）.