遞歸數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用

張遠(yuǎn)東

【摘要】遞歸數(shù)列是高考數(shù)列命題的熱點(diǎn).它的方法活，類型多，解題方法也不盡相同.本文綜合前人的研究歸納總結(jié)出幾種常見類型的遞歸數(shù)列，并應(yīng)用到實(shí)際問題中.例如傳球問題、爬樓梯問題、染色等遞歸數(shù)列的實(shí)際問題在中小學(xué)試題中頻頻出現(xiàn)，對(duì)它們的研究也顯得更有意義.本文對(duì)這些問題進(jìn)行了簡單研究.

【關(guān)鍵詞】遞歸；數(shù)列；應(yīng)用

1.增長率的問題

例1 某工廠年初有固定資金1000萬元，假設(shè)經(jīng)過投入生產(chǎn)，每年資金增長率為50%，但每年要扣除消費(fèi)基金x萬元，余下的資金投入再生產(chǎn)，若經(jīng)過5年后扣除消費(fèi)基金還至少有2000萬元，求x能取到的最大值（精確到1萬元）.

解 設(shè)用an表示經(jīng)n年后扣消費(fèi)基金余下的資金，那么有

故x能取到的最大值為424萬元.

注 本題充分利用前后兩年的余款來建立遞歸關(guān)系an=an-1（1+50%）-x，避免了逐項(xiàng)類推找規(guī)律的煩瑣過程.

2.爬樓梯問題

例2 假設(shè)一個(gè)人向上爬樓梯時(shí)，每一步可以上1級(jí)或2級(jí)，問這個(gè)人爬n級(jí)樓梯一共有多少種不同的爬法？

解 設(shè)爬n級(jí)樓梯一共有an種爬法.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1.

當(dāng)n=2時(shí)，①每一步一級(jí)；②每一步兩級(jí)，有2種走法.

當(dāng)n=3時(shí)，①每一步一級(jí)；②先一級(jí)后兩級(jí)；③先兩級(jí)后一級(jí)，一共有3種走法.

當(dāng)n=4時(shí)，①他第一步走一級(jí)還剩3級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=3的情況，有3種走法；

②他第一步走兩級(jí)還剩2級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=2的情況，有2種走法，所以一共有5種走法.

當(dāng)n=5時(shí)，①他第一步走一級(jí)還剩4級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=4的情況，有5種走法；

②他第一步走兩級(jí)還剩3級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=3的情況，有3種走法，

所以一共有8種走法.

……

當(dāng)為n級(jí)時(shí)也有兩種情況：

①他第一步走一級(jí)還剩n-1級(jí)，有an-1種走法；

②他第一步走兩級(jí)還剩n-2級(jí)，有an-2種走法.

所以一共有an-1+an-2種走法.

即an=an-1+an-2.

推廣 假定一個(gè)人爬樓梯時(shí)，每一步能上1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)，那么這個(gè)人爬n級(jí)樓梯一共會(huì)有多少種不同的爬法呢？

由上面的解題思路很容易解答.這也是一個(gè)遞歸數(shù)列的問題，其遞歸式為

an=an-1+an-2+an-3，其中a1=1，a2=2，a3=4.

3.放球問題

例3 有編號(hào)1，2，3，4，…，n的n個(gè)不同的球，分別裝入編號(hào)為1，2，3，4，…，n的n個(gè)筐里（一筐一個(gè)），序號(hào)不能相同，共有多少種方法？

解 設(shè)n個(gè)球裝n個(gè)筐中（序號(hào)不同）有an種裝法，則a1=0，a2=1，a3=2，an包含兩類：

①1號(hào)球裝入k號(hào)筐，k號(hào)球裝入1號(hào)筐（k=2，3，…，n），還剩（n-2）個(gè)球（n-2）個(gè)筐（序號(hào)不同），共有an-2種裝法，又k有（n-1）種選擇，所以這類情況有C1n-1an-2種放法；

②1號(hào)球裝入k號(hào)筐，但k號(hào)球不裝入1號(hào)筐（k=2，3，…，n），此時(shí)可以把k號(hào)球當(dāng)作1號(hào)球，即還剩（n-1）個(gè)球（n-1）個(gè)筐（序號(hào)不同），共有an-1種裝法，又k有（n-1）種選擇，所以這類情況有C1n-1an-1種放法.

所以an=C1n-1an-2+C1n-1an-1=（n-1）（an-2+an-1），（n≥3）.

4.傳球問題

例4 有m個(gè)人在做相互傳球訓(xùn)練，第一次讓甲先傳球給其余m-1人中的任一人，第二次再由拿球者再傳給其余m-1人中的任一人，這樣共相互傳了n次球，則在第n次傳球后仍傳回到甲手中的傳法種數(shù)共有多少種？

解 設(shè)經(jīng)過傳球n次，第n次傳到甲的傳球方法數(shù)有an種，設(shè)傳球n次，第n次不傳給甲的傳球方法數(shù)有bn種，an+bn表示這n次傳球可以傳給m-1人中的任一人.易得a1=0，an+bn=（m-1）n，而an+1=bn（第n+1次傳到甲只需第n次不傳到甲）.所以an+an+1=（m-1）n.

，

即an+1[]（-1）n+1-an[]（-1）n=-（1-m）n，利用累差疊加的方法可得

傳球問題、爬樓梯問題等經(jīng)常困擾著學(xué)生，本文針對(duì)這幾類問題進(jìn)行了探究，并與遞歸數(shù)列的相關(guān)類型建立聯(lián)系，揭示它們的本質(zhì)，使得這幾類問題的解題變得清晰明了.