無理函數(shù)積分的一些方法

常軍

【摘要】給出無理函數(shù)積分的幾種方法，對提高學生解題能力、發(fā)展學生思維能力有一定意義.

【關鍵詞】無理函數(shù)；積分；方法

對于無理函數(shù)的積分，一般高等數(shù)學教材中只介紹了變量替換法和求被積函數(shù)中含有簡單根式x2±a2和nax+bcx+d等情形.但實際遇到的有些無理函數(shù)積分問題，利用變量代換計算往往比較復雜，有些甚至還無法計算，雖然利用積分表可以查到結果，但從培養(yǎng)學生思維能力的角度講并無益處.現(xiàn)把無理函數(shù)的積分歸納為以下幾種方法，對提高學生解題能力、發(fā)展學生思維能力有一定意義.

一、湊微分法

例1 求А襵+3x2+6x+4dx.

解∫x+3x2+6x+4dx=12∫d（x2+6x+4）x2+6x+4=x2+6x+4+C.

例2 求∫dxx+x2 .

解

∫dxx+x2=∫1x+1xdx=∫1x+1x+11x+x+1dx=2∫1x+x+1d（x+x+1）=2lnx+x+1+C.

二、分項積分法

例3 求∫x2x2+1dx.

解 ∫x2x2+1dx=∫x2+1-1x2+1dx=∫x2+1dx-∫1x2+1dx=12[xx2+1-ln|x+x2+1|]+C.

三、分部積分法

例4 求∫x+x2dx.

解

∫x+x2dx=xx+x2-∫（1+2x）x2x+x2dx=xx+x2+12∫xx+x2dx-∫x+x2dx.

∫x+x2dx=12xx+x2+14∫xx+x2dx=14x+x2（2x+1）-18lnx+12+x+x2+C.

四、換元法

例5 求∫31+4xxdx.

解

設t=31+4x， 所以 x=（t3-1）4dx=12t2（t3-1）3dt.∫31+4xxdx=12∫（t6-t3）dt=127t7-3t4+C=127（1+4[]x）73-3（1+4[]x）43+C.

五、歐拉代換法

例6 求∫x31+x2dx.

解

令1+x2=xu-1，則x=2uu2-1 dx=-2u2+2（u2-1）2du. ∫x31+x2dx=-16∫u3（u2-1）4du=-8∫u2-1+1（u2-1）4d（u2-1）=4（u2-1）2+83（u2-1）3+C=x4（1+1+x2）2+x63（1+1+x2）3+C.

雖然無理函數(shù)的積分比較復雜，但通過典型題目的訓練，認真分析、總結，是可以達到熟練掌握無理函數(shù)積分的教學要求的.從被積函數(shù)的特點出發(fā)尋找不同的處理方法，從中去探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，充分調動學生學習的主動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.在高等數(shù)學教學過程中滲透創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這是素質教育的要求，數(shù)學創(chuàng)新教育主要是發(fā)展學生的思維能力，使他們在數(shù)學問題的探索中有新的發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學方法上有所創(chuàng)新，在思維層次上有新的提高.