例談畫圖建模在解決問題中的有效作用

喻志榮

日常教學(xué)中我們時(shí)常碰到一些抽象的數(shù)學(xué)問題，這讓不少學(xué)生感到束手無策. 其實(shí)出現(xiàn)這些現(xiàn)象是由于學(xué)生缺乏必要的思維方法，不會(huì)將抽象的問題形象化、模型化. 實(shí)踐證明：只要我們善于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將會(huì)很好地幫助我們解決實(shí)際問題. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中多次強(qiáng)調(diào)幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型從而有效解決問題，數(shù)學(xué)建模已成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的迫切需要. 所謂“數(shù)學(xué)模型”，就是數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對(duì)現(xiàn)實(shí)原型簡(jiǎn)化的本質(zhì)的描述. 廣義上來說，一切數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程、數(shù)學(xué)圖形等都可以稱為數(shù)學(xué)模型. 在所有數(shù)學(xué)模型中，畫圖模型使用最為廣泛，通過畫圖來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型對(duì)于幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題很有幫助. 下面是我?guī)状胃杏|較深的有關(guān)畫圖建模的教學(xué)片斷：

片段一：線段圖讓數(shù)量關(guān)系一目了然

教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)出現(xiàn)了下面這樣一道題目：“一本書，小明已經(jīng)看了40%，還剩60頁(yè)，這本書多少頁(yè)？”有一些學(xué)生的解法是：60 ÷ 40% = 150（頁(yè)）. 我沒有直接說出他們的錯(cuò)誤，而是引導(dǎo)他們畫出了下面的線段圖：

從線段圖上學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)剩下的60頁(yè)與40%是不對(duì)應(yīng)的，60 ÷ 40%顯然是錯(cuò)誤的，正確的解法應(yīng)是60 ÷ （1 - 40%） = 100（頁(yè)）. 這里通過畫線段圖將數(shù)量關(guān)系明朗化，學(xué)生很容易找到某個(gè)數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，從而順利地求出單位“1”的量.

片段二：平面圖讓抽象意義躍然紙上

教學(xué)小數(shù)的意義時(shí)，不少教師是從生活中的“元角分”入手的，由十進(jìn)制分?jǐn)?shù)直接揭示小數(shù)的概念. 雖然學(xué)生也能掌握一些小數(shù)的表示方法，但總感覺得有點(diǎn)生搬硬套，對(duì)小數(shù)的意義缺乏本質(zhì)的理解. 為了改變這一現(xiàn)象，我在教學(xué)時(shí)進(jìn)行了一些變更. 考慮到“元”做單位的小數(shù)學(xué)生在生活中早有接觸，我先出示0.3元，讓學(xué)生說說含義并嘗試著在一個(gè)正方形圖中用陰影表示出0.3元.由于學(xué)生都知道怎樣表示3角，所以很快想出了下面的表示方法.

（左圖正方形表示1元）

接著我因勢(shì)利導(dǎo)，問：“這個(gè)0.3元用分?jǐn)?shù)怎么表示呢？”學(xué)生說：“用■表示. ”我又讓學(xué)生說說圖中的5格用小數(shù)和分?jǐn)?shù)分別怎么表示，圖中的9格用小數(shù)和分?jǐn)?shù)怎么表示. 通過觀察和比較，學(xué)生搞清了小數(shù)和十進(jìn)制分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，從而很好地理解了小數(shù)的意義.

片段三：示意圖讓疑難問題水落石出

替換問題是一個(gè)較為復(fù)雜的問題，教學(xué)中盡管不少教師用多媒體演示得清清楚楚，但到了真正解題時(shí)仍然有不少學(xué)生感到束手無策. 其關(guān)鍵就在于學(xué)生的理解是建立在媒體演示的基礎(chǔ)上，一旦離開了媒體的支撐，思維就無處著落. 為了解決這一問題，我改用畫示意圖的方法來幫助學(xué)生思考. 有一道題目是這樣的：“有2個(gè)大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿球，正好是27個(gè)球，每個(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝3個(gè)，每個(gè)大盒和小盒各裝多少個(gè)？”我讓學(xué)生用大正方形表示大盒，用小正方形表示小盒，用小圓圈表示球，畫出了下面的示意圖：

通過畫圖將兩種不同的盒子轉(zhuǎn)化成同一種盒子，學(xué)生很輕易地得出7個(gè)小盒裝了27 - 6 = 21（個(gè)）球，每個(gè)小盒裝了21 ÷ （2 + 5） = 3（個(gè)）球，每個(gè)大盒裝了3 + 3 = 6（個(gè)）球. 原本比較復(fù)雜的問題，通過畫示意圖，學(xué)生獲得了思路，答案很快就浮出了水面.

通過以上實(shí)例足以看出畫圖對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題十分有效. 通過畫圖可以幫助學(xué)生建立清晰的思維模型，學(xué)生的思路會(huì)豁然開朗，一些疑難障礙會(huì)迎刃而解. 那么日常教學(xué)中，作為一線的數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該怎樣搞好畫圖建模呢？聯(lián)系自身的教學(xué)實(shí)踐我有以下幾點(diǎn)思考：

一、要培養(yǎng)學(xué)生畫圖的意識(shí)

培養(yǎng)學(xué)生畫圖的意識(shí)是搞好畫圖建模的首要前提. 如果一名學(xué)生對(duì)畫圖抱著無所謂的態(tài)度，遇到數(shù)學(xué)問題只是死動(dòng)腦筋而不愿意在紙上涂涂畫畫，這樣的思維效率是很低的. 所以教學(xué)中我們要有意識(shí)地促使學(xué)生萌發(fā)畫圖的意識(shí). 作為教師而言，我們既要多進(jìn)行一些畫圖的演示，同時(shí)又要多讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖的過程，以刺激學(xué)生的感性神經(jīng)，讓學(xué)生感悟到畫圖在解題中的突出優(yōu)勢(shì)，體驗(yàn)到畫圖的神奇魅力. 從而使學(xué)生從內(nèi)心真正萌發(fā)畫圖的意識(shí).

二、要讓學(xué)生掌握畫圖的方法

畫圖是一個(gè)模型和工具，是為了給學(xué)生的思考提供一個(gè)有效的路徑，沒有固定的模式，但必要的方法指導(dǎo)還是必要的. 如畫分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的線段圖時(shí)，可以先讓學(xué)生認(rèn)真審題，找準(zhǔn)單位“1”的量，然后用一條線段來表示，數(shù)量和分率不要混在一起，可以在線段的上側(cè)標(biāo)出分率，下側(cè)標(biāo)出數(shù)量，問題用“？”表示，這樣畫便于看清數(shù)量和分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 又如畫立體圖形的三視圖時(shí)，看到的面用實(shí)線表示，看不到的面用虛線表示，題中的數(shù)據(jù)要在相應(yīng)的線段上標(biāo)出，而且單位必須是統(tǒng)一的.

三、要讓學(xué)生養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣

畫圖不僅是一種方法，更是一種習(xí)慣. 養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣，對(duì)于提高學(xué)生的問題解決能力會(huì)大有裨益. 為了使學(xué)生養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣，我們?cè)谂淖鳂I(yè)時(shí)不僅要看學(xué)生的列式解答，也要看學(xué)生的畫圖過程，要充分關(guān)注學(xué)生的思維脈絡(luò). 對(duì)于一些好的畫圖，可在全班展示，對(duì)于一些不規(guī)范的畫圖要耐心糾正. 有一些題目對(duì)畫圖依賴性很強(qiáng)，我們必須要求學(xué)生先畫圖再解答. 如一些稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問題要先畫出線段圖搞清量率對(duì)應(yīng)關(guān)系后再解答，又如求立體圖形的表面積的問題要先畫出三視圖，搞清求哪幾個(gè)面后再解答. 只有養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣，學(xué)生的思維才會(huì)有序推進(jìn)，從而提高解題的效率.