例談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生認(rèn)知上的誤區(qū)

張興余

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過程中，由于學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法的不當(dāng)，還有教師教學(xué)方法的不合理，給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來許多障礙，使學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生誤區(qū). 教師要重視這個(gè)問題，進(jìn)行診斷，采取方法解決學(xué)生認(rèn)知上的誤區(qū).

一、例題

例1 在七年級(jí)的一次課堂練習(xí)中，我給出這樣的一個(gè)問題：

觀察下列等式：（x - 1）（x + 1） = x2 - 1；（x - 1）（x2 + x + 1） = x3 - 1；（x - 1）（x3 + x2 + x + 1） = x4 - 1；……

（1）請(qǐng)你猜想一般規(guī)律：（x - 1）（xn + xn-1 + xn-2 +… + x2 + x + 1） =；

（2）已知x3 + x2 + x + 1 = 0，求x2008的值.

小明同學(xué)想了一會(huì)兒之后發(fā)現(xiàn)了解題思路，在征得老師的同意后回答：

（1）（x - 1）（xn+xn-1 + xn-2 + … + x2 + x + 1） = xn+1 - 1.

（2）∵ （x - 1）（x3 + x2 + x + 1） = x4 - 1，且x3 + x2 + x + 1 = 0.

∴ x4 - 1 = 0，x4 = 1，x = 1，

∴ x2008 = 12008 = 1.

小紅同學(xué)又提出可以這樣解，在求出x4 = 1之后，不需要求出x的值，也能夠求出x2008的值，先將x2008 = （x4）502 = 1502 = 1.

首先我對(duì)兩名同學(xué)的兩種解法給予了充分肯定，及時(shí)表?yè)P(yáng)了兩名同學(xué)快速而準(zhǔn)確的解答；接著我又問“同學(xué)們他們兩人的解法，誰更合理？”. 同學(xué)們?cè)诘紫滦÷曌h論，有人說小明同學(xué)的方法更容易理解和接受，而小紅的方法要將x2008進(jìn)行變形，比較麻煩.

我又問你們會(huì)求x2007的值嗎？誰會(huì)解？小亮同學(xué)不加思索的回答：這很簡(jiǎn)單，因?yàn)閤 = 1，所以x2007 = 1，小亮對(duì)自己的回答感到非常滿意.

例2 在學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的除法的時(shí)候，我提出這樣一個(gè)問題：當(dāng)x =時(shí)，（x + 2）x - 1 = 1.

小王同學(xué)搶著回答：因?yàn)槿魏螖?shù)的零次冪都等于1，所以當(dāng)x = 1時(shí)，（x + 2）x-1 = 1.

小王同學(xué)為自己精彩的回答而洋洋得意. 這時(shí)小紅同學(xué)說：“他的解答不完整，當(dāng)x = -1時(shí)，（x + 2）x-1 = 1，所以x可以取1或-1. ”我及時(shí)地追問：“同學(xué)們對(duì)這道題還有什么看法，x還可以取其他的值嗎？”同學(xué)們面面相覷，還有其他的值？

例3 在學(xué)完一次函數(shù)這一章復(fù)習(xí)時(shí)，有這樣一道題：已知一次函數(shù)y = kx + b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），（0，-4）.

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖像.

在同學(xué)們求出一次函數(shù)的表達(dá)式和畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖像之后，進(jìn)行追問：一次函數(shù)的圖像是什么？同學(xué)們不約而同地回答：一次函數(shù)的圖像是一條直線.

我接著又說：“點(diǎn)燃一支20 cm長(zhǎng)的蠟燭，蠟燭燃燒剩下的長(zhǎng)度s（cm）是蠟燭燃燒的時(shí)間t（h）的一次函數(shù)，已知蠟燭燃燒0.5小時(shí)后剩下的長(zhǎng)度是15 cm，求出s與t之間的關(guān)系式并且畫出它的圖像，它的圖像與前面所畫的一次函數(shù)的圖像相同嗎？”.

同學(xué)們很快求出一次函數(shù)的關(guān)系式是y = -10x + 20，也很快畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖像，它是一條直線，同學(xué)們十分自信地回答.

二、歸因分析

從例1的解答結(jié)果可得x = 1，顯然與事實(shí)不符，全班同學(xué)都沒有看到問題的癥結(jié)，他們都忽略了運(yùn)用等式的基本性質(zhì)的前提條件，前提條件是等式的兩邊都乘以或除以（不等于零的）一個(gè)數(shù)或一個(gè)整式. 小明同學(xué)在等式的兩邊都乘以（x - 1），而求出的結(jié)果 x = 1，把x = 1代入x - 1 = 0，顯然與等式的基本性質(zhì)相悖，正確的結(jié)果是x = -1，從而得出x2008 =1，x2007 = -1. 小紅的解法求x2008的值是正確的，但是求x2007的值是困難的，這種方法有時(shí)可用，具有一定的局限性. 從上述情況可以看到對(duì)等式的基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解不夠清楚，因此在運(yùn)用等式的基本性質(zhì)解決問題時(shí)有時(shí)會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，這是學(xué)生認(rèn)知的一個(gè)盲區(qū)，教師在教等式的基本性質(zhì)時(shí)要對(duì)形式認(rèn)知薄弱的地方加以足夠地重視，在運(yùn)用等式的基本性質(zhì)解決問題的過程中不斷進(jìn)行強(qiáng)化，就能掃清學(xué)生認(rèn)知上的盲區(qū). 理解了等式的基本性質(zhì)，就不難理解分式方程為什么要檢驗(yàn)根的合理性，根據(jù)等式的基本性質(zhì)方程兩邊所乘的最簡(jiǎn)公分母是不能等于0的，當(dāng)求出的未知數(shù)的值使最簡(jiǎn)公分母等于0時(shí)，違背了等式的基本性質(zhì)，因此這個(gè)未知數(shù)的值是方程的增根. 教師在教學(xué)過程中要強(qiáng)調(diào)結(jié)論存在的條件，這個(gè)過程需要不斷循環(huán)往復(fù)地進(jìn)行，不可能一蹴而就.

從例2的解答可以看出學(xué)生受“任何非零數(shù)的零次冪都等于1”的干擾，這又是學(xué)生認(rèn)知上的一個(gè)誤區(qū)，許多學(xué)生認(rèn)為xn = 1，是由冪中的指數(shù)決定的，這是認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤，學(xué)生忽視1的特殊性，除了非零數(shù)的零次冪都等于1，還有1的任何次冪都等于1，以及-1的偶次冪也等于1 .

從例3發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)也是存在誤區(qū)的，例如對(duì)一次函數(shù)的圖像的認(rèn)識(shí)，學(xué)生始終認(rèn)為一次函數(shù)的圖像是一條直線，我認(rèn)為這是我們數(shù)學(xué)教師教學(xué)上缺失的一個(gè)地方，給學(xué)生帶來認(rèn)知障礙，引起認(rèn)知的副作用. 一次函數(shù)的圖像是一條直線的條件是在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，但當(dāng)自變量的取值范圍發(fā)生變化時(shí)一次函數(shù)的圖像有時(shí)也跟著一起變化.

例如一次函數(shù)y = -10x + 20，

當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，它的圖像是一條直線；

當(dāng)x > 2時(shí)，它的圖像是一條射線；

當(dāng)0 ≤ x ≤ 2時(shí)，它的圖像是一條線段.

所以教師在一次函數(shù)的圖像教學(xué)時(shí)一定要重視這個(gè)問題，近幾年各地的數(shù)學(xué)中考考察畫一次函數(shù)的圖像的題不多，但是如果數(shù)學(xué)中考出現(xiàn)一個(gè)實(shí)際問題情境的一次函數(shù)要求畫出該函數(shù)圖像，那么學(xué)生的錯(cuò)誤率和失分率是令人難以接受的.

發(fā)生以上錯(cuò)誤反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則的內(nèi)涵和外延理解不透；對(duì)概念、公式、法則的適應(yīng)范圍混淆不清；解題過程中學(xué)生往往忽略了隱含條件；數(shù)學(xué)基本技能缺乏；數(shù)學(xué)基本的思想方法沒有領(lǐng)會(huì)及正確地運(yùn)用等.

總之，出現(xiàn)以上問題反映平常教學(xué)過程中存在教與學(xué)的問題，促使我教師對(duì)教學(xué)進(jìn)行反思，對(duì)出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究和探討. 課程改革要求轉(zhuǎn)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，由被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)化主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)方式，以此調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力. 同時(shí)要求教師也要改變教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，選擇教學(xué)策略，提高教學(xué)效果.