例談反例教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

紀(jì)昌江

從邏輯學(xué)上講，若說明一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過嚴(yán)密的推證；而要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，卻只須舉出一個(gè)“反例”，即舉出一個(gè)符合命題的條件而不符合該命題的結(jié)論（或與某一已經(jīng)證實(shí)的正確結(jié)論）的示例就可以了，這種與命題相矛盾的示例即稱為反例.

對(duì)于一個(gè)命題來說，反例是簡(jiǎn)明有力的否定方法；而對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來說，它又是加深對(duì)概念、定理等數(shù)學(xué)對(duì)象理解的重要手段，更是我們認(rèn)識(shí)一個(gè)新問題（或新數(shù)學(xué)對(duì)象）過程中的認(rèn)知規(guī)律之一. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師若能通過反例的教學(xué)，對(duì)學(xué)生所犯的錯(cuò)誤加以剖析，讓學(xué)生從分析中認(rèn)識(shí)到“錯(cuò)誤”產(chǎn)生的原因，這對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確而深刻地把握概念，掌握知識(shí)與方法，預(yù)防知識(shí)性或方法性的錯(cuò)誤，乃至提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，都將會(huì)起到積極的作用.

一、運(yùn)用反例，深入概念內(nèi)涵，拓展概念外延

教育心理學(xué)研究表明：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于辨別的信息. ”即人們?cè)讷@得一個(gè)正確認(rèn)識(shí)的過程中，往往要經(jīng)過正反兩方面的比較和鑒別，才能完整地將新的認(rèn)知“同化”于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中. 因?yàn)檎媸纠?，只是回答了什么情況下“是”的問題，而“反例”顯然通過另一個(gè)側(cè)面抓住該概念的本質(zhì)，回答了什么情況下“不是”的問題，即從認(rèn)知的反方向，幫助學(xué)生加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí).

例1 在學(xué)習(xí)定理“兩邊極其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”時(shí)，同學(xué)們自然想到結(jié)論“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖，尋找是否會(huì)出現(xiàn)“例外”的情況，結(jié)果會(huì)出現(xiàn)這樣的反例：如圖，在△ABC和△ABD中，AB = AB，BC = BD，∠A = ∠A，但△ABC與△ABD不全等. 由此可以引導(dǎo)學(xué)生思考：需要再添加什么條件兩個(gè)三角形就全等了，由畫圖可知，只要兩個(gè)三角形都是銳角三角形，它們就全等了.

二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的定理、性質(zhì)時(shí)，往往會(huì)因?yàn)榉N種原因而忽略定理、性質(zhì)中關(guān)鍵詞語的理解與挖掘，從而造成認(rèn)知“缺陷”，導(dǎo)致問題解決時(shí)的錯(cuò)誤運(yùn)用. 若在教學(xué)中恰當(dāng)引入反例，可以幫助學(xué)生牢記定理的關(guān)鍵詞語，并從“認(rèn)知策略”上全面認(rèn)識(shí)和掌握新知識(shí)，繼而形成良好的思維習(xí)慣與方式.

三、構(gòu)造反例，準(zhǔn)確把握法則，靈活運(yùn)用公式

新課程要求變革傳統(tǒng)、單一的課堂，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)在產(chǎn)生知識(shí)的過程中學(xué)習(xí). 心理學(xué)家對(duì)人類認(rèn)知活動(dòng)的研究表明：對(duì)一個(gè)新事物的理解與運(yùn)用，只有建立成功的經(jīng)驗(yàn)和失敗的教訓(xùn)的互相作用之下，有了一定的過程，才能真正地正確理解及靈活運(yùn)用. 數(shù)學(xué)中的很多性質(zhì)、法則都是以公式的形式出現(xiàn)的，它們也一般都有一定的適用范圍. 運(yùn)用過程中，學(xué)生出一點(diǎn)錯(cuò)誤本屬正常現(xiàn)象. 但是，教師應(yīng)該讓這種“正常”現(xiàn)象，盡快地在學(xué)生的認(rèn)知過程中“自覺”消失. 教學(xué)中若有目的地恰當(dāng)引用一些反例，能加深學(xué)生對(duì)公式、法則的適用條件的認(rèn)識(shí)與理解，使他們達(dá)到對(duì)公式、法則有效的理解與掌握，從而在對(duì)比中積累“靈活運(yùn)用”的機(jī)智，讓這種“正?！爆F(xiàn)象化歸“不正常”，最終從暫存的記憶中抹去.

四、借助反例，增強(qiáng)防范意識(shí)，提高糾錯(cuò)能力

由命題結(jié)構(gòu)可知，中學(xué)范疇的數(shù)學(xué)結(jié)論可劃分為三類：① 充要條件型，② 充分條件型，③ 必要條件型. 特別是②③兩種類型，在問題解決的應(yīng)用時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)，并且極不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤所在. 倘若讓學(xué)生在“反例”和“反問”中探索、討論，則可增長(zhǎng)“策略性知識(shí)”，修正原有的“陳述性知識(shí)”模塊，提升其思維的準(zhǔn)確性和防錯(cuò)意識(shí)，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯(cuò)誤原因，找出正確的解題方法.

例4 已知關(guān)于x的方程x2 - mx - m + 3 = 0的兩個(gè)根都大于-5，求m的取值范圍.

錯(cuò)解 由題意得， x1 > -5，x2 > -5，Δ ≥ 0，所以x1 + x2 = m > -10，x1x2 = -m + 3 > 25，Δ = m2 - 4（-m + 3） ≥ 0，

即m > -10，m < -22，m ≥ 2或m ≤ -6，所以這樣的m不存在.

反例 若取m = 2時(shí)方程為x2 - 2x + 1 = 0，它的兩個(gè)根為1都大于-5. 所以這道題并非無實(shí)數(shù)解. 所以上述解答是錯(cuò)誤的.

事實(shí)上，x1 > -5x2 > -5與x1 + x2 > -10x1x2 > 25并不等價(jià). 前者是后者的充分條件，但不是必要條件，其錯(cuò)誤的原因是將充分條件當(dāng)作“充要條件”使用了.

新課程改革要求教師幫助學(xué)生設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)和形成有效的學(xué)習(xí)方式. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)地、恰當(dāng)?shù)匾胍恍┓蠢?，?duì)于鞏固和掌握概念、公式、定理和法則，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力，特別是批判思維、逆向思維和邏輯思維能力，活躍課堂氣氛，都有著不可估量的作用.