微積分教學(xué)中的思維培養(yǎng)

雷貫華

摘要： 文章主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)要注重思維能力的培養(yǎng)，包括創(chuàng)新思維、逆向思維、邏輯思維和應(yīng)用思維的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞： 創(chuàng)新逆向邏輯應(yīng)用微積分教學(xué)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，其中思維能力至關(guān)重要.思維能力是指通過分析、綜合、概括、抽象、比較、具體化和系統(tǒng)化等一系列過程，對感性材料進(jìn)行加工并轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識及解決問題的能力.毋庸置疑，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動離不開思維，思維能力是學(xué)習(xí)能力的核心.微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容,我結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就微積分對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)談幾點(diǎn)粗淺認(rèn)識.

一、培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，首先要引導(dǎo)學(xué)生有創(chuàng)新意識.創(chuàng)新意識是人意識活動中的一種積極的、富有成果性的表現(xiàn)形式，是人們進(jìn)行創(chuàng)造活動的出發(fā)點(diǎn)和內(nèi)在動力，是創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造力的前提.為此應(yīng)積極提供給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會，讓他們對所學(xué)知識進(jìn)行綜合分析篩選，大膽提出自己的想法，從而達(dá)到思維的創(chuàng)新變通和突破.

比如求不定積分?蘩x■dx，按照常規(guī)思維看到■大部分學(xué)生會想到首先設(shè)x+1=t■，求出dx=2tdt,從而去掉根號將原式轉(zhuǎn)化為2?蘩(t■-1)t■dt,最后根據(jù)基本公式求出不定積分.那么如果■不去呢？讓學(xué)生自己大膽思考另辟蹊徑.經(jīng)過一番自我思索、相互討論、積極嘗試，他們找到了新方法：先進(jìn)行恒等變形，然后利用湊微分法具體如下：

?蘩(x+1-1)■dx

=?蘩(x+1)■dx-?蘩■dx=?蘩(x+1)■d(x+1)-?蘩■d(x+1)

=■(x+1)■-■(x+1)■+C

再比如：求不定積分?蘩■dx，根據(jù)被積函數(shù)的形式先分析出第一步要恒等變形，“拋磚”以后把“引玉”的工作交給學(xué)生，及時調(diào)動他們的學(xué)習(xí)主動性、積極性和開創(chuàng)性，果然收效甚好，得出了兩種不同的解法：

方法一：?蘩■dx

=?蘩■dx=?蘩■dx=?蘩■dx

=?蘩(■+■)dx=?蘩csc■xdx+?蘩■dsinx

=-cotx-(sinx)■+c

方法二：?蘩■dx

=?蘩■dx=■?蘩csc■■dx=-cot■+c

兩種不同的求法，既讓學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了有關(guān)三角函數(shù)關(guān)系式，又及時開拓了他們的思維.

二、培養(yǎng)逆向思維能力

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式.敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問題的相反面深入地進(jìn)行探索，樹立新思想，創(chuàng)立新形象.數(shù)學(xué)教學(xué)中通常是從已知推到結(jié)論的思維方式，其實(shí)，對于某些問題，如果正向思維有時會有較大的運(yùn)算量，有時甚至無法解決，這種情況下就要積極換一個角度看問題，從而使問題簡單化.

例1：從半徑為r的圓形鐵片上截去一扇形，并將剩下的部分做成一個漏斗，問截下扇形的圓心角?準(zhǔn)為何值時，漏斗的容積最大.

如果正向思維要求漏斗容積最大，首先要表示出漏斗容積的表達(dá)式

V=■πr■■h

其中r■為漏斗底面半徑，h為漏斗的高，根據(jù)題義及圓錐的有關(guān)知識得

V=■π■(2π-?準(zhǔn))■■式①

此表達(dá)式比較復(fù)雜，必定導(dǎo)致求導(dǎo)過程的煩瑣.如果反過來思考，問題就轉(zhuǎn)化為求剪剩下的扇形圍成漏斗的容積最小的問題，其體積表達(dá)式如下

V=■π(■)■■式②

很明顯式②比式①要簡單，容易求導(dǎo)準(zhǔn)確地求出?準(zhǔn)值.

利用逆向思維不僅可以簡化計算，而且可以培養(yǎng)學(xué)生活學(xué)活用知識的能力.

例2：已知：?蘩■■f″(x)sinxdx=0，f(π)=-f(0),求證：?蘩■■f(x)sinxdx=0.

通過分析，此題主要考查的是定積分的分部積分法.

方法一：從已知條件出發(fā)

?蘩■■f″(x)sinxdx

=f′(x)sinx|■■-?蘩■■f′(x)cosxdx

=-?蘩■■f′(x)cosxdx

=-f(x)cosx|■■-?蘩■■f(x)sinxdx

=f(π)+f(0)-?蘩■■f(x)sinxdx

根據(jù)已知條件?蘩■■f″(x)sinxdx=0，f(π)=-f(0)得?蘩■■f(x)sinxdx=0.

方法二：從結(jié)果出發(fā)

?蘩■■f(x)sinxdx

=-f(x)cosx|■■+?蘩■■f′(x)cosxdx

=f(π)+f(0)+f′(x)sinx|■■-?蘩■■f″(x)sinxdx

=-?蘩■■f″(x)sinxdx=0

可見正逆運(yùn)算殊途同歸，但思維方式不同.不同的解法使學(xué)生進(jìn)一步理解掌握了分部積分法.

三、培養(yǎng)邏輯思維能力

邏輯思維能力是學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備的能力，是指正確、合理思考的能力，即對事物進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力.邏輯思維是一種有條件，有步驟漸進(jìn)式的思維方式，最終達(dá)到解決問題的目的.

例：f(x)=lnx-?蘩■■f(x)dx,求證：?蘩■■f(x)dx=■.

學(xué)生一看題目似乎無從入手，怎么辦？先問學(xué)生引導(dǎo)性的問題：直接由原式能否得出結(jié)論？結(jié)論中定積分的值■可能從哪兒來？經(jīng)過思考分析推理學(xué)生意識到要想得出■，只利用原式中的?蘩■■f(x)dx是不可能的，必須經(jīng)過運(yùn)算，即兩邊同時求定積分再出現(xiàn)一個新的?蘩■■f(x)dx，于是鼓勵學(xué)生大膽做下去得到式①：

?蘩■■f(x)dx=?蘩■■lnxdx-?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx

=1-?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx式①

但式中的?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx又怎么處理？雙重積分還沒有學(xué)，那么能否將定積分?蘩■■f(x)dx提出來呢？學(xué)生都知道如果是常數(shù)就可以提出來，那么?蘩■■f(x)dx是不是常數(shù)呢？反應(yīng)快的同學(xué)馬上意識到?蘩■■f(x)dx的確是一個數(shù)，因為根據(jù)定積分的幾何意義可知，定積分表示的是一個平面圖形的面積，至此學(xué)生豁然開朗，通過一步一步推理推導(dǎo)，最后得出結(jié)論：

?蘩■■f(x)dx=1-?蘩■■f(x)dx?蘩■■dx=1-(e-1)?蘩■■f(x)dx

即?蘩■■f(x)dx=1-(e-1)?蘩■■f(x)dx最后移項得

e?蘩■■f(x)dx=1得?蘩■■f(x)dx=■

邏輯思維是對知識的綜合思考和篩選，可幫助學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力.

四、培養(yǎng)應(yīng)用思維能力

微積分從實(shí)際應(yīng)用中產(chǎn)生并發(fā)展，最終也要運(yùn)用于解決實(shí)際問題.老師不僅要教會學(xué)生數(shù)學(xué)理論計算，更要讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用于實(shí)際，最終達(dá)到學(xué)以致用的目的.微積分是解決一些幾何和物理問題的重要工具.為了培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用思維，首先要讓他們理解一些數(shù)學(xué)概念的實(shí)際意義，比如：函數(shù)y=f(x)的求導(dǎo)■實(shí)際上是y隨x的變化率問題，所以物理中s=s(t)位移對時間求導(dǎo)■是路程隨時間的變化率問題即：v(t)=s′(t)，同理加速度a(t)=v′(t)=s″(t)，這樣就賦予了函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)實(shí)際意義.求導(dǎo)的逆過程是求積分，所以已知加速度或速度的表達(dá)式求位移表達(dá)式，就是以t為積分變量以a(t)或v(t)速為被積函數(shù)求積分.遇到如下題目學(xué)生也就容易理解并應(yīng)用了.

例： 已知某質(zhì)點(diǎn)做直線變速運(yùn)動，其加速度為t■+1，且在初始時刻的速度v= 1，位移s=0，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程.

解：v=?蘩a(t)dt=?蘩(t■+1)dt=■t■+t+c又t=0時v=1，得c=1,v=■t■+t+1

則，s=?蘩v(t)dt=?蘩(■t■+t+1)dt=■t■+■t■+t+c

又t=0時s=0，得c=0，所以運(yùn)動方程為s(t)=■t■+■t■+t.

總之，思維能力是一切能力的核心，它是通過對事物的感知、表象進(jìn)行分析、概括、歸納而獲得事物本質(zhì)的能力.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力具有重要的意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］韓云瑞.高等數(shù)學(xué).北京：中國財經(jīng)出版社，1998.