正項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

張康明

摘要： 正項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn)問(wèn)題。本文從做好課題的引入、做好問(wèn)題的銜接、做好課堂的收尾三個(gè)方面，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的教學(xué)做了一定的研究與思考。

關(guān)鍵詞： 正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法課題引入問(wèn)題銜接課堂收尾

正項(xiàng)級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程中無(wú)窮級(jí)數(shù)的重要內(nèi)容之一，同時(shí)又是無(wú)窮級(jí)數(shù)部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。從某種程度上說(shuō)，能否學(xué)好正項(xiàng)級(jí)數(shù)部分的內(nèi)容直接關(guān)系到無(wú)窮級(jí)數(shù)全章的教學(xué)效果。因此，正確處理好正項(xiàng)級(jí)數(shù)的教學(xué)顯得格外重要，我就如何處理正項(xiàng)級(jí)數(shù)的教學(xué)談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、做好課題的引入，提出核心問(wèn)題。

好的開(kāi)頭等于成功的一半，課堂教學(xué)也是如此。好的課題導(dǎo)入既能夠在內(nèi)容上承上啟下，又能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效率。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的引入主要是提出待解決的問(wèn)題，在一堂的教學(xué)中起到統(tǒng)領(lǐng)作用。本節(jié)要解決的問(wèn)題是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題，那么如何導(dǎo)入該問(wèn)題呢？要回答這個(gè)問(wèn)題，我們可以從第一節(jié)提出的本章核心問(wèn)題——級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合斂散性定義可知，級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題可歸結(jié)為數(shù)列的斂散性問(wèn)題，進(jìn)而聯(lián)系數(shù)列的斂散性判別法，由此自然引入正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和本節(jié)要研究的問(wèn)題——正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題。通過(guò)這樣的導(dǎo)入，學(xué)生能夠明白本節(jié)的地位與作用，深刻體會(huì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與一般級(jí)數(shù)審斂法的關(guān)系，從而提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

二、做好問(wèn)題的銜接，逐步得出方法。

由本節(jié)的問(wèn)題導(dǎo)入可知，本節(jié)的核心問(wèn)題是要解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題，那么如何來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？這是我們?cè)谙旅娴慕虒W(xué)中要解決的問(wèn)題。由導(dǎo)入的分析可知，一個(gè)級(jí)數(shù)如果說(shuō)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的話(huà)，那么這個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和數(shù)列是單調(diào)遞增的，結(jié)合單調(diào)遞增數(shù)列必收斂的公理，我們就可以得出正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的充要條件，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑um收斂的充要條件是：部分和數(shù)列{S■}有界，即存在某正數(shù)M，對(duì)一切正整數(shù)n有S■＜M。這個(gè)充要條件是本節(jié)審斂法推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)，具有十分重要的地位與作用。該定理把級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷數(shù)列是否有界的問(wèn)題。那么如何來(lái)判斷數(shù)列的有界性呢？我們可以通過(guò)先做幾個(gè)實(shí)例而后來(lái)小結(jié)其方法，最終得到判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和數(shù)列有界的方法。通過(guò)分析，我們知道判斷有界的常用方法是通過(guò)不等式放縮其一般項(xiàng)，從而得到前n項(xiàng)和的有界性估計(jì)，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的充要條件就可以判斷其斂散性了。該方法的本質(zhì)是通過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)和另一個(gè)已知或容易判斷其有界性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)比較得出其有界性的判斷，進(jìn)而可判斷其斂散性。我們把這個(gè)方法進(jìn)行歸納就可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法的一般形式。由比較審斂法的一般形式可知：要判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，只要把它和已知斂散性或有界性的級(jí)數(shù)比較就可以判斷原級(jí)數(shù)的斂散性。一般形式的比較審斂法在本節(jié)中具有非常重要的地位與作用，它是后面的幾個(gè)審斂法推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)。為了讓學(xué)生牢固地掌握該方法，我們可以多設(shè)置幾個(gè)例題和練習(xí)，然后把該定理歸納為口訣形式：大收則小收，小散則大散，這樣便于學(xué)生理解和把握該審斂法。另外在設(shè)置例題和練習(xí)時(shí)要考慮一般形式的比較審斂法與極限形式的比較審斂法的過(guò)渡，為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，我們可設(shè)置一般形式的審斂法難于做，而極限形式較容易處理的題目，如：

第一組練習(xí)：判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性。

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第二組練習(xí)：猜測(cè)下列級(jí)數(shù)的斂散性，并說(shuō)明理由。

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第一組練習(xí)的題目主要是讓學(xué)生牢固掌握一般形式的比較審斂法，而第二組練習(xí)主要是在第一組練習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編。這樣便于學(xué)生根據(jù)第一組練習(xí)的結(jié)論猜測(cè)第二組練習(xí)的結(jié)論，但又難于從一般形式的審斂法中說(shuō)明。這樣的設(shè)置可以讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望，可以增強(qiáng)教學(xué)的效果。有了前面的鋪墊，我們就可以水到渠成地引出比較審斂法的極限形式。極限形式的比較審斂法其證明主要利用極限的性質(zhì)和一般形式的審斂法結(jié)論，在教學(xué)中注重講解其證明思路，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)該法的應(yīng)用。極限形式的比較審斂法本質(zhì)是找其一般項(xiàng)的同階無(wú)窮小，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性與其一般項(xiàng)同階無(wú)窮小為一般項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性相同，這樣正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找同階無(wú)窮小及判斷同階無(wú)窮小為一般項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題。通常用來(lái)比較的對(duì)象為p-級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)，因?yàn)檫@兩個(gè)級(jí)數(shù)的同階無(wú)窮小好找，斂散性好判斷。極限形式的比較審斂法一般是和不同于本身的級(jí)數(shù)比較，如果和自己比較，那么又有何結(jié)論呢？這樣我們就可以引進(jìn)比值和根式判別法，其中根式判別法較之比值判別法更有效。

三、做好課堂的收尾，達(dá)到首尾呼應(yīng)和承前啟后的效果。

課堂的收尾是教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，好的收尾，應(yīng)做到結(jié)尾和開(kāi)頭的呼應(yīng)，同時(shí)起到承上啟下的作用。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收尾主要圍繞正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性展開(kāi)，內(nèi)容由一個(gè)充要條件和四個(gè)審斂法組成，在收尾小結(jié)時(shí)可以用表格形式把幾個(gè)審斂法的特點(diǎn)列出來(lái)，同時(shí)可以設(shè)置問(wèn)題，讓學(xué)生來(lái)判斷一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.這樣通過(guò)問(wèn)題自然提出下次課要講的內(nèi)容，為下節(jié)課做好鋪墊。

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