淺談微積分在土木工程上的應(yīng)用

蔡顥

摘要文章在簡(jiǎn)要介紹了微積分和土木工程兩個(gè)學(xué)科基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，全面分析了兩者的內(nèi)在聯(lián)系，并提出了微積分在土木工程學(xué)科領(lǐng)域的主要方面應(yīng)用。

關(guān)鍵詞微積分木工程應(yīng)用

1土木工程與微積分的概述

1.1土木工程與微積分二者的學(xué)科聯(lián)系

土木工程是建造各類工程設(shè)施的科學(xué)技術(shù)的統(tǒng)稱土木工程是建造各類工程設(shè)施的科學(xué)技術(shù)的統(tǒng)稱。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和工程實(shí)踐的發(fā)展，土木工程這個(gè)學(xué)科也已發(fā)展成為內(nèi)涵廣泛、門類眾多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合體系。微積分（Calculus）則指高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。

兩者分屬不同學(xué)科，但在實(shí)踐中卻有著密切的聯(lián)系。為了便于理清兩者的關(guān)系，首先有必要簡(jiǎn)單地介紹一下微積分和土木工程這兩個(gè)不同學(xué)科。

現(xiàn)在我們通常所說的土木工程，泛指用石、磚、鋼材、木材、合金材料及塑料等材料在地球表面的土層或巖層上建造起來的與人類生活、生產(chǎn)活動(dòng)有關(guān)的工程設(shè)施。土木工程設(shè)施的類型包括建筑工程、公路與城市道路工程、鐵路工程、橋梁工程、隧道工程、水利工程、港口工程、給水排水工程、環(huán)境工程及海洋工程等。①土木工程是一門學(xué)科，稱為“土木工程學(xué)”，它運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科知識(shí)和力學(xué)、材料科學(xué)等技術(shù)科學(xué)知識(shí)，以及“土木工程學(xué)”方面的工程技術(shù)知識(shí)等來綜合研究工程的設(shè)計(jì)原理、施工技術(shù)和實(shí)施手段。

微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。其內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)主要包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，則包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

通過上述的介紹，我們已清楚地知道在土木工程項(xiàng)目的前期計(jì)算、施工過程與工程造價(jià)中是無法離開微積分的。只有通過微積分的科學(xué)而具體的計(jì)算，才能使土木工程項(xiàng)目的具體實(shí)踐活動(dòng)變得更加精確、具體、高效和科學(xué)。

1.2微積分的發(fā)展歷程

微積分起源與古代。在公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的《莊子·天下篇》一書中也有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”之說。②三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中也提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、典型的極限概念。

到了十七世紀(jì)，許多科學(xué)問題需要用微積分來解決，歸結(jié)起來，主要有四種類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題；第二類是求曲線的切線問題；第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題；第四類是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力問題。

十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，從而為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。例如，1666年牛頓建立了“反流數(shù)術(shù)”，即現(xiàn)在的積分法，同年，牛頓將他的研究成果整理成一篇總結(jié)性的論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》，確定了現(xiàn)代微積分的基本方法。這篇文獻(xiàn)是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。而德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲則在系統(tǒng)研讀了笛卡爾、費(fèi)馬、帕斯卡等人的著作，從巴羅的“微分三角形”開始了微積分的研究工作，創(chuàng)立“無窮小算法”。牛頓與萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家最大的功績(jī)就是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題（積分學(xué)的中心問題）。19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。

微積分發(fā)展為越來越復(fù)雜的土木工程項(xiàng)目提供了科學(xué)的運(yùn)算手段。

2微積分在土木工程中的具體應(yīng)用

目前，在某些大學(xué)中的土木工程專業(yè)本科培養(yǎng)計(jì)劃中，其主要課程設(shè)置包括大學(xué)數(shù)學(xué)、大學(xué)物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)土力學(xué)、土木工工程制圖、混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理、鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理、土木工程施工等。其中，專業(yè)基礎(chǔ)課中必修課有8門，與微積分有密切聯(lián)系的占了4門，專業(yè)課程共有8門，同樣有4門與微積分密切相關(guān)（測(cè)量學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、土力學(xué)、房屋建筑學(xué)等）。③不僅如此，只要我們上網(wǎng)瀏覽一下相關(guān)高校的土木工程本科培養(yǎng)計(jì)劃就會(huì)發(fā)現(xiàn)，幾乎所有大學(xué)的土木工程專業(yè)本科培養(yǎng)計(jì)劃中的課程設(shè)置都離不開微積分和三大力學(xué)（理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)）。

2.1微積分在土木工程中的建筑設(shè)計(jì)的作用

目前，我們可以毫不夸張地說，微積分貫穿于每一項(xiàng)具體的土木工程項(xiàng)目之中。例如，在建筑的設(shè)計(jì)過程中，一些長(zhǎng)度較大的跨江或跨海大橋，以及高速公路、高速鐵路等，它們的設(shè)計(jì)會(huì)因?yàn)榈匦位虻貏?shì)的原因，從而無法避免地出現(xiàn)彎道和有弧度的路面、護(hù)坡剖面、隧道。在這種情況下，如何去計(jì)算道路建造的長(zhǎng)度和開挖土方量等？很顯然，在橋梁、隧道或道路修好后，再去現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量是不現(xiàn)實(shí)的。正因?yàn)槿绱?，在每一個(gè)土木工程項(xiàng)目施工前，就必須科學(xué)編制一個(gè)詳細(xì)的項(xiàng)目施工說明書（或招投標(biāo)書）。而要編制該項(xiàng)目書，就必須用到微積分的相關(guān)知識(shí)，對(duì)每一路段、橋涵或標(biāo)段的圓弧進(jìn)行積分，將一小段的圓弧取極限，將它們看作是一段直線，最后對(duì)各個(gè)小直線進(jìn)行相加，以此來算出總的彎道和弧度長(zhǎng)度，從而科學(xué)計(jì)算出總工程量，以便招投標(biāo)和科學(xué)施工。

另外，某些建筑物的殼體型屋頂，它在每一高度下應(yīng)該彎曲多大的角度，也會(huì)用到微積分中多元求導(dǎo)的知識(shí)。例如，法國(guó)巴黎國(guó)家工業(yè)與技術(shù)展覽中心大廳的混凝土薄殼結(jié)構(gòu)是當(dāng)今世界上跨度最大的薄殼結(jié)構(gòu)。它平面呈三角形，邊長(zhǎng)219米，殼體離地46米，是雙洪波拱體，支撐在三角部墩座上，墩座由預(yù)應(yīng)力拉桿而成。在它的設(shè)計(jì)過程中，就必須考慮到在不同的高度其x、y，還有z方向的彎曲角度。此時(shí)就必須用到微積分中的多元求導(dǎo)的知識(shí)。在室內(nèi)的旋轉(zhuǎn)樓梯中，因?yàn)閷?duì)與樓梯的總高度與旋轉(zhuǎn)的總角度是由于具體的施工場(chǎng)所而決定的。但是，在具體的施工過程中，其具體在某一個(gè)高度它的旋轉(zhuǎn)角度數(shù)值大小，同樣需要用微積分知識(shí)來計(jì)算出來。所以微積分關(guān)于對(duì)長(zhǎng)度和弧度等計(jì)算在土木工程是非常有用的。

2.2微積分在建筑結(jié)構(gòu)荷載方面的應(yīng)用

建筑物的荷載主要為恒載、可變荷載、風(fēng)荷載以及地震作用幾大部分。④

恒載：房屋是由承重的結(jié)構(gòu)構(gòu)件（如基礎(chǔ)、柱、墻、梁、板等）和一些非結(jié)構(gòu)構(gòu)件（如樓地面面層、屋面保溫防水層、頂棚、墻面上的門窗及抹灰層等）構(gòu)成的。在工程中將這些由結(jié)構(gòu)構(gòu)件和非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的自重所引起的荷載叫恒載或永久荷載。

可變荷載：建筑物除了承受恒載之外，還會(huì)受人群、家具、儲(chǔ)存物等可變荷載，其作用的位置均可隨時(shí)間而改變。

風(fēng)荷載：風(fēng)的作用是不規(guī)則的，風(fēng)對(duì)建筑物的影響會(huì)隨風(fēng)速、風(fēng)向的變化而不停地改變。而建筑物在這種波動(dòng)風(fēng)的作用下往往會(huì)產(chǎn)生晃動(dòng)。

地震作用：地震會(huì)引起的地面運(yùn)動(dòng)，并通過房屋影響到上部的建筑結(jié)構(gòu)。地震時(shí)所產(chǎn)生的地基水平、垂直運(yùn)動(dòng)形態(tài)，會(huì)使建筑物受到破壞性影響，如同站在地毯上的人受到某種力的作用而不由自主地?fù)u晃。⑤

例如，在杭州灣跨海大橋的設(shè)計(jì)時(shí)，它的北航道橋?yàn)橹骺?48m的鉆石型雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，南航道橋?yàn)橹骺?18m的A型單塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，由于它采用了斜拉橋的建筑工藝來建造道橋。對(duì)于橋面的支撐由許多鋼索來完成，對(duì)于每一根鋼索的受力大小，作建筑設(shè)計(jì)和施工工程中都需要用微積分來精確計(jì)算。此外，在水利工程中的拱壩修建施工，因拱壩是平面上呈凸向上游的拱形擋水建筑物，借助拱的作用將水流壓力的全部或部分傳給河谷兩岸的基巖。與重力壩相比，在水壓力作用下壩體的穩(wěn)定不需要依靠本身的重量來維持，主要是利用拱壩兩端基巖的反作用來支承。所以對(duì)于壩體單位迎水面積的應(yīng)力大小的計(jì)算，也是通過數(shù)學(xué)中的極限來進(jìn)行計(jì)算的。當(dāng)然，通過微積分對(duì)建筑的荷載進(jìn)行受力分析時(shí)，我們還需要用到物理學(xué)中的“結(jié)構(gòu)力學(xué)”相關(guān)知識(shí)。但不管怎樣，在土木工程項(xiàng)目設(shè)計(jì)和施工中的具體求解時(shí)，微積分就是我們最有力的工具。

微積分在土木工程項(xiàng)目設(shè)施和施工中發(fā)揮著舉足輕重的作用，它從建筑目標(biāo)的測(cè)量到工程量計(jì)算，到建筑物的外形設(shè)計(jì)，再到建筑物荷載的分析等等都離不開微積分這一科學(xué)的技術(shù)支撐手段。而現(xiàn)代建筑正是因?yàn)橛辛宋⒎e分這一技術(shù)支撐手段，才使我們的土木工程項(xiàng)目設(shè)計(jì)和施工變得更加準(zhǔn)確和科學(xué)，從而也使我們建造的建筑物更加安全、舒適、美觀、環(huán)保和低碳！