數(shù)學(xué)圖式:促進(jìn)教和學(xué)的意義融通?

真正的學(xué)習(xí)是不能在主體間直接“傳遞”的,換句話說(shuō)，學(xué)習(xí)不是“我一說(shuō)你就會(huì)”的，教師永遠(yuǎn)無(wú)法代替學(xué)生去學(xué)習(xí)。在教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)，我們從學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和生存狀態(tài)的視角觀察教師的教學(xué)現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)不少人習(xí)慣于教師成人思維方式的“直接傳遞”，忽視學(xué)生的個(gè)體學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。那么學(xué)生究竟是以什么樣的方式內(nèi)化知識(shí)?教學(xué)如何遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和個(gè)體學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？我們需要在教和學(xué)的過(guò)程中架構(gòu)一條學(xué)習(xí)通道，引發(fā)學(xué)生形成具有自身學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)參與的內(nèi)在轉(zhuǎn)化，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解和運(yùn)用。筆者以為，其中一個(gè)重要的途徑就是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圖式始終伴隨著兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，使教和學(xué)產(chǎn)生建立在不同數(shù)學(xué)知識(shí)意義上的融通。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是幫助學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)圖式化、經(jīng)驗(yàn)化的重要過(guò)程

為什么說(shuō)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是圖式化和經(jīng)驗(yàn)化的過(guò)程？?jī)和烤挂允裁礃拥姆绞竭M(jìn)行學(xué)習(xí)？知識(shí)是以什么樣的形式存在于兒童的經(jīng)驗(yàn)世界中？

圖式是“潛藏在人類心靈深處”的一種技術(shù)，一種技巧（康德）。作為潛藏在人類心靈深處的技術(shù)和技巧顯然具有個(gè)體獨(dú)特的內(nèi)在學(xué)習(xí)方式，是一種帶有個(gè)體印記的經(jīng)驗(yàn)化的過(guò)程。魯墨哈特認(rèn)為圖式是對(duì)于知識(shí)的特有的表征方式。皮亞杰認(rèn)為圖式是“一個(gè)有組織的、可重復(fù)的行為或思維模式”，兒童在與外部環(huán)境“同化”與“順應(yīng)”相互作用的過(guò)程中，建構(gòu)起具有自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的知識(shí)。同化是吸收外部信息并整合到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(也稱“圖式”)中；順應(yīng)是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無(wú)法同化新信息時(shí)所引起的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組與改造的過(guò)程?？梢?jiàn)，同化是認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)量的擴(kuò)充(圖式擴(kuò)充)，而順應(yīng)則是認(rèn)知結(jié)構(gòu)性質(zhì)的改變(圖式改變)。兒童就是通過(guò)同化與順應(yīng)這兩種形式來(lái)達(dá)到與周?chē)h(huán)境的平衡。因此，我們把學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程看作是一個(gè)圖式化與經(jīng)驗(yàn)化的過(guò)程，是學(xué)生個(gè)體的內(nèi)在知識(shí)，通過(guò)教師外化的教學(xué)方式及教學(xué)情感的介入，促使學(xué)生內(nèi)化從而形成知識(shí)的儲(chǔ)存、理解、提取、運(yùn)用等的方式。劉秀梅在《論數(shù)學(xué)圖式的類型、特點(diǎn)及功能》一文中認(rèn)為：數(shù)學(xué)圖式從數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)的形式來(lái)看，可以分為概念圖式和原理圖式；從知識(shí)的類型來(lái)看，可以將圖式分為陳述性知識(shí)圖式、程序性知識(shí)圖式和策略性知識(shí)圖式；從解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的角度看，可以將圖式分為論證圖式和計(jì)算圖式。從對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的角度看，可以將圖式分為情境圖式和反思圖式。從認(rèn)知數(shù)學(xué)的程度看，可以將數(shù)學(xué)圖式分為表象圖式、符號(hào)圖式和言語(yǔ)圖式。

學(xué)習(xí)過(guò)程常常是圖式化的過(guò)程。首先，知識(shí)可以被濃縮成框架，突出重點(diǎn)。其次，知識(shí)可以被提煉成記憶線索和“組塊”，減少閱讀時(shí)間，增大儲(chǔ)存和學(xué)習(xí)空間。最后，知識(shí)可以被重新組合成網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)圖式不能適應(yīng)課文信息時(shí)，就要對(duì)原有圖式進(jìn)行調(diào)整、改造、補(bǔ)充和修正，使之適應(yīng)新的需要，順應(yīng)新的圖式。

1.從知識(shí)的本身看，數(shù)學(xué)知識(shí)是符號(hào)化的結(jié)果，圖式對(duì)符號(hào)化過(guò)程起到半抽象的作用

數(shù)學(xué)知識(shí)在形成的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了眾多數(shù)學(xué)家的研究推定和符號(hào)建構(gòu)，而符號(hào)化可以把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，也就是將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律用符號(hào)表達(dá)出來(lái)。符號(hào)化超越了實(shí)際問(wèn)題的具體情境，揭示和指明了存在于某一類問(wèn)題中的共性和普遍性，把認(rèn)識(shí)和推理提到一個(gè)更高的水平，這是數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)思考最本質(zhì)的東西。符號(hào)可分為推理符號(hào)和表象符號(hào)，語(yǔ)言屬推理符號(hào)，其它更多地屬于表象符號(hào)。學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)化的過(guò)程中，需要濃縮和解釋概念、術(shù)語(yǔ)，形成自己的語(yǔ)言圖式；或通過(guò)圖表圖式記取、運(yùn)用的方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用。比如，認(rèn)識(shí)數(shù)“5”，觀察5個(gè)蘋(píng)果，5支鉛筆，5個(gè)人……它們都可以用數(shù)字“5”來(lái)表示，當(dāng)學(xué)生看到數(shù)字5，就會(huì)和數(shù)量是5的具體實(shí)物聯(lián)系起來(lái)，聯(lián)想到5所表示的不同含意。在這個(gè)過(guò)程中，符號(hào)幫助學(xué)生建立了數(shù)學(xué)圖式。

2.從學(xué)習(xí)的角度看，知識(shí)不能單純地復(fù)制粘貼，圖式可以促進(jìn)主體對(duì)知識(shí)的有效理解

無(wú)論是什么知識(shí)，無(wú)論通過(guò)什么方式向?qū)W生傳遞，都需要學(xué)生個(gè)體的內(nèi)在認(rèn)知理解和主動(dòng)建構(gòu)。圖式是兼有個(gè)性認(rèn)識(shí)的特殊的經(jīng)驗(yàn)技巧，是個(gè)體經(jīng)驗(yàn)化的印記過(guò)程，當(dāng)靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)成為每個(gè)學(xué)習(xí)個(gè)體的知識(shí)時(shí)，圖式幫助我們濃縮冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)概念語(yǔ)言而留下簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。比如：由三角形的頂點(diǎn)向?qū)吽鞯拇怪本€段的長(zhǎng)度，叫三角形的高。語(yǔ)言圖式可以幫助我們簡(jiǎn)潔地理解三角形的高就是“頂點(diǎn)到垂足的線段”。圖式也幫助我們推導(dǎo)數(shù)學(xué)圖式，理解數(shù)學(xué)公式。比如：三角形的面積計(jì)算公式是：三角形的面積＝底×高÷2，學(xué)生知道了兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形（底和高分別相等），平行四邊形的面積＝底×高，所以三角形的面積要多個(gè)“÷2”。在學(xué)生的頭腦中，有了數(shù)學(xué)公式的圖式，有了“兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形”的拼圖，自然就能理解和推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式，建立了用字母圖式表示三角形的面積計(jì)算方法的圖式，對(duì)計(jì)算中容易丟失的“÷2”的問(wèn)題也就可以大大減少了，促進(jìn)了對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

3.從教學(xué)的角度看，知識(shí)不能簡(jiǎn)單地傳遞灌輸，圖式促進(jìn)主體產(chǎn)生有意義的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)

波蘭尼有一個(gè)非常著名的認(rèn)識(shí)論命題：“我們所認(rèn)識(shí)的多于我們所能告訴的?！睆慕虒W(xué)的角度看，無(wú)論什么樣的教學(xué)方式都不能繞過(guò)知識(shí)這個(gè)核心，都需要通過(guò)學(xué)生個(gè)體建構(gòu)內(nèi)在的學(xué)習(xí)圖式，某種意義上來(lái)說(shuō)，學(xué)生的學(xué)習(xí)圖式類似于緘默知識(shí)隱藏在冰山底部。不論什么知識(shí)，都以一個(gè)個(gè)的單位儲(chǔ)存在我們的記憶中，認(rèn)知科學(xué)家稱每一個(gè)知識(shí)的儲(chǔ)存單位為一個(gè)圖式。簡(jiǎn)單地說(shuō)，圖式是信息處理所依據(jù)的最基本單位，一個(gè)圖式表征一個(gè)概念及其所相關(guān)的知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)是前人的研究成果，不可避免地帶有經(jīng)驗(yàn)的色彩，后人學(xué)習(xí)的過(guò)程，是對(duì)靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)性化理解，因而教學(xué)是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)圖式的建構(gòu)，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)靜態(tài)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)理解和有意義的建構(gòu)。

二、數(shù)學(xué)圖式是促進(jìn)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)抽象化、系統(tǒng)化的核心手段

1.數(shù)學(xué)圖式的符號(hào)化、抽象性特點(diǎn)有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋找解題規(guī)律

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，應(yīng)該由每個(gè)學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地建構(gòu)，并通過(guò)師生所組成的學(xué)習(xí)共同體共同完成。“意義學(xué)習(xí)”即“圖式學(xué)習(xí)”,學(xué)習(xí)者正確圖式的建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握具有十分重要的意義。

當(dāng)面臨一個(gè)具體情境時(shí)，學(xué)生能通過(guò)自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述和最終運(yùn)用符號(hào)，將這個(gè)關(guān)系的規(guī)律表達(dá)出來(lái)。比如人教版四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的一道練習(xí)題，一張餐桌上坐6個(gè)人，兩張餐桌并起來(lái)坐14個(gè)人……照這樣，10張桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38個(gè)人，需要多少?gòu)堊雷硬拍茏?？這是一道探索規(guī)律的問(wèn)題，學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)歷了由特殊到一般的歸納方法。可以先畫(huà)圖幫助自己理解：求2張餐桌，3張餐桌可坐多少人？但是餐桌多的時(shí)候，就無(wú)法再用畫(huà)圖來(lái)計(jì)算了，這就需要?jiǎng)幽X筋去思考其中的規(guī)律。只有發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，并用符號(hào)圖式表示出來(lái)，才能很快計(jì)算出擺放任意張餐桌可坐幾個(gè)人。在解題的過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用符號(hào)圖式和言語(yǔ)圖式理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，把具體的問(wèn)題情境抽象化，尋找到了解題的規(guī)律。

2.數(shù)學(xué)圖式的網(wǎng)點(diǎn)化、結(jié)構(gòu)化特點(diǎn)有利于幫助學(xué)生溝通數(shù)學(xué)聯(lián)系，形成系統(tǒng)知識(shí)

由于數(shù)學(xué)知識(shí)是高度結(jié)構(gòu)化的，因此，選用數(shù)學(xué)圖式把握和分析數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于形成數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)、單元或主題結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生“見(jiàn)樹(shù)木，更見(jiàn)森林”，“見(jiàn)森林，才見(jiàn)樹(shù)木”。

數(shù)學(xué)圖式把數(shù)學(xué)知識(shí)串點(diǎn)成線，織線成網(wǎng)、溝通知識(shí)間的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，彰顯重點(diǎn)難點(diǎn)，梳理邏輯順序。從這點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)圖式無(wú)疑為學(xué)生科學(xué)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)提供了一條有效的路徑。通過(guò)建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)圖式，學(xué)生可以得到簡(jiǎn)約的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)。因而數(shù)學(xué)圖式的建構(gòu)有利于學(xué)生系統(tǒng)掌握知識(shí)，有利于學(xué)生把知識(shí)加工成有聯(lián)系的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)圖式的形成和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生思維的整體性和敏捷性，列表法、圖解法（符號(hào)化）、綱帶目法、樹(shù)型圖、集合圖等等都有利于形成學(xué)生系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圖式。

3.數(shù)學(xué)圖式的形式化、層級(jí)化特點(diǎn)有利于幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)規(guī)律

小學(xué)數(shù)學(xué)很多是具有形式規(guī)則的，并經(jīng)常以公式的形式來(lái)表達(dá)，如a+b=b+a，s=ah等。理解數(shù)學(xué)形式，有利于理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，是提升數(shù)學(xué)理解的有效途徑。

斯法德（sfard）曾強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)概念與實(shí)體的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算間的互補(bǔ)性具有極強(qiáng)的教育價(jià)值。對(duì)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的理解是有效運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行運(yùn)算的前提條件，低水平的具體化與高水平的內(nèi)化是互為前提的，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，有些學(xué)生將代數(shù)術(shù)語(yǔ)僅視為符號(hào)。如(a+b)×c=a×c+b×c，很多學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，并沒(méi)有對(duì)這種數(shù)學(xué)形式實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的具體化。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)比數(shù)學(xué)運(yùn)算更難以理解，需要通過(guò)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)具體化，表象圖式就是實(shí)現(xiàn)具體化的有效途徑。要發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形式的理解，為符號(hào)感的培養(yǎng)提供契機(jī)，就要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)形式的運(yùn)算和結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)知識(shí)由多個(gè)知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成，一般以解決問(wèn)題的形式被學(xué)生體驗(yàn)和領(lǐng)悟。反映每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的相應(yīng)問(wèn)題，稱為知識(shí)點(diǎn)的基本題型，涉及多個(gè)知識(shí)的問(wèn)題構(gòu)成了綜合題。圖式復(fù)習(xí)，可以將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)按四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行整理，第一項(xiàng)是“知識(shí)點(diǎn)”（可以是一課、一章節(jié)、一個(gè)專項(xiàng)等的知識(shí)）；第二項(xiàng)是“基本題型”（與知識(shí)點(diǎn)相應(yīng)的典型例題）；第三項(xiàng)是典型綜合題（和知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的綜合題）；第四項(xiàng)是易錯(cuò)題（相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)題目中的典型錯(cuò)誤）。

數(shù)學(xué)圖式的層級(jí)化集中表現(xiàn)在動(dòng)作圖式、表象圖式、思維圖式等方面。動(dòng)作圖式依靠動(dòng)作表征數(shù)量關(guān)系及語(yǔ)義；表象圖式是動(dòng)作圖式內(nèi)化的結(jié)果；思維圖式是利用符號(hào)理解語(yǔ)義、進(jìn)行解題的。教師應(yīng)該視學(xué)習(xí)為一個(gè)圖式獲得和完善的過(guò)程，關(guān)注圖式建構(gòu)的策略。學(xué)生有時(shí)可能只選擇經(jīng)驗(yàn)或課堂所學(xué)的一小部分加以識(shí)記，也可能會(huì)曲解所識(shí)記的知識(shí)，教師應(yīng)該有針對(duì)性地干預(yù)。當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⑿轮R(shí)納入已有的圖式，或通過(guò)對(duì)已有圖式的修改創(chuàng)建新的圖式時(shí)，學(xué)習(xí)才是有意義的。

（王乃濤，淮安市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，223002）