數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)研究中的運(yùn)用

班國勇

【摘要】文章通過介紹物理學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。提出了在物理學(xué)研究中把數(shù)學(xué)形式與物理規(guī)律、物理圖像等緊密聯(lián)系起來，達(dá)到提高學(xué)生分析、解決物理學(xué)問題的能力，為開啟從事物理學(xué)工作的教師探索性思維、創(chuàng)造性研究提供參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法；物理學(xué)研究；運(yùn)用

1物理學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系

自然界中的一切事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體，認(rèn)識世界的重要途徑是對事物進(jìn)行質(zhì)和量的考察，量變到質(zhì)變是事物發(fā)展的普遍規(guī)律。反映事物本質(zhì)屬性及其規(guī)律的物理學(xué)，不僅應(yīng)有正確的定性描述，還必須準(zhǔn)確地刻劃出量的變化規(guī)律，而且也只有當(dāng)物理學(xué)由定性進(jìn)入到定量的階段，才算是真正把握住了事物的質(zhì)，才標(biāo)志著物理學(xué)已經(jīng)成熟，這當(dāng)然離不開數(shù)學(xué)。16世紀(jì)以后，物理學(xué)逐漸發(fā)展成為一門成熟的自然科學(xué)，它不僅用實(shí)驗(yàn)方法代替了以往整體的觀察法而且引進(jìn)了數(shù)學(xué)方法。在物理學(xué)研究中針對研究對象不同的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、方法和技巧，對研究對象進(jìn)行量的分析、描述、計(jì)算和推導(dǎo)，從而找出能以數(shù)學(xué)形式表達(dá)事物的量的規(guī)律性。數(shù)學(xué)在物理科學(xué)中取得的成就有目共睹:從牛頓的經(jīng)典力學(xué)到狹義相對論以及廣義相對論；從麥克斯韋方程組中的電與磁到量子力學(xué)中波粒二象性的對立統(tǒng)一，數(shù)學(xué)無時不在幫助陳述與幫助揭示自然的奧秘。近代科學(xué)是以物理學(xué)為標(biāo)志的，其重要原因之一，就是它能以精確的數(shù)學(xué)形式表示出物體的運(yùn)動規(guī)律，開創(chuàng)了科學(xué)實(shí)驗(yàn)同數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法?，F(xiàn)代物理學(xué)則發(fā)展到了與數(shù)學(xué)須臾不離的地步，現(xiàn)代物理學(xué)的研究對象離直觀越來越遠(yuǎn)，需要反映其內(nèi)在聯(lián)系的自然現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)事實(shí)越來越復(fù)雜，欲想對其進(jìn)行定量分析和深入研究，就非用數(shù)學(xué)不可，用數(shù)學(xué)不但能準(zhǔn)確地反映出已知事物的本質(zhì)聯(lián)系，而且能做出科學(xué)預(yù)見，取得重大的突破。現(xiàn)代物理的一切重大發(fā)現(xiàn)，都與數(shù)學(xué)的應(yīng)用密切相關(guān)。物理學(xué)發(fā)展對數(shù)學(xué)的需要恰好在數(shù)學(xué)發(fā)展上起了直接的決定性的推動作用，如微積分是牛頓在處理物理問題時，用已有的數(shù)學(xué)知識沒法解決的前提下創(chuàng)立的。在歷史上牛頓等很多物理學(xué)家也是數(shù)學(xué)家。

2數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)研究中的運(yùn)用

（1）用數(shù)學(xué)思想與方法表述物理概念。概念是思維的基本單位，也是最基本的思維形式。物理概念不僅僅是實(shí)踐發(fā)展的產(chǎn)物，同時也是抽象思維的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用，給這一抽象、概括提供了最理想的工具。在物理研究中，用數(shù)學(xué)思想與方法對各種物理概念進(jìn)行數(shù)量方面的描述形成了各種物理量。物理量體現(xiàn)了質(zhì)與量的統(tǒng)一。物理概念的建立，可以理解為對物理量的確切表述。

（2）用數(shù)學(xué)思想與方法描述物理規(guī)律。數(shù)學(xué)思想與方法給物理規(guī)律的描述提供了最簡潔、最準(zhǔn)確的表達(dá)方式。如用方程函數(shù)思想描述物理規(guī)律有:自由落體運(yùn)動的位移與速度的變化規(guī)律:S =1/2gt2、v = gt，閉合電路中電流的變化規(guī)律:I =ε/R+ r，正弦交流電的變化規(guī)律:i = Imsinωt，等等。又如:已知一物體作變速直線運(yùn)動，其速度u是時間的函數(shù)，求物體由時刻t = a到t = b這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程S。這里可用分割、代替、求和、取極限的數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型，把物理學(xué)上較為復(fù)雜的變速直線運(yùn)動明確地表示出來。再如:在初速度為零的勻變速直線運(yùn)動中，假設(shè)物體經(jīng)過t秒通過的位移為S1，經(jīng)過2t秒通過的位移為S2，經(jīng)過3t秒通過的位移為S3……，則根據(jù)初速度為零的勻變速直線運(yùn)動的位移公式:S1=12at2，S2=12a(2t)2，S3=12a(3t)2……，得到S1∶S2∶S3∶……=12∶22∶33∶……，即可得出結(jié)論:在初速度為零的勻變速直線運(yùn)動中，物體所通過的位移與時間的平方成正比。這就告訴我們，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，通過計(jì)算可以揭示物理規(guī)律更深刻的內(nèi)容。

3運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來分析、解決物理問題時應(yīng)該注意哪些問題

（1）在物理公式中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識時，一定要使學(xué)生弄清物理公式或圖像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去理解物理問題，要防止單純從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)將物理公式“純數(shù)學(xué)化”的傾向。這就是說，要注意不能把物理意義淹沒在數(shù)學(xué)表述式中。物理與數(shù)學(xué)畢竟各有特點(diǎn)，二者有各自不同的研究對象和方法，一個數(shù)學(xué)函數(shù)式可以表示事物間的多種相互關(guān)系，而一個物理公式總是具有特定內(nèi)容的，一定要在明確物理內(nèi)容的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)工具。在有關(guān)圖像的教學(xué)中，應(yīng)該把“形”與它所反映的物理內(nèi)容聯(lián)系起來，用圖形來直觀地表示其物理內(nèi)容，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生弄清楚用數(shù)學(xué)來解決物理問題時，必須受到物理概念和規(guī)律的制約，有時從數(shù)學(xué)知識上來看是合理的，而從它的物理意義上來看是不合理，也就是說，受限于物理現(xiàn)象的本質(zhì)，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用有其局限性和特殊性。

（2）表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式都是在一定條件下成立的，在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題時，一定要使學(xué)生弄清物理公式的適用條件和應(yīng)用范圍。

（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來推導(dǎo)物理公式或從基本公式導(dǎo)出其它關(guān)系式時，應(yīng)該注意: 有些物理定律雖然可以從別的物理定律推導(dǎo)出來，但要引導(dǎo)學(xué)生弄清所討論的物理定律是怎樣建立的以及它跟相關(guān)聯(lián)的物理定律有什么關(guān)系。

（4）要把概念、規(guī)律的數(shù)學(xué)公式，與用文字、語言敘述結(jié)合起來，真正理解式子的物理含意，不要單從純數(shù)學(xué)關(guān)系上理解公式，避免產(chǎn)生物理意義上的錯誤。例如，物質(zhì)密度的定義式是 D=m/v，我們能不能根據(jù)這個式子的數(shù)學(xué)關(guān)系，說物質(zhì)的密度 ρ與質(zhì)量 m 成正比，與體積 V 成反比呢?不能，因?yàn)槊芏?ρ 是描述每種物質(zhì)固有特性的物理量。例如，鋁的密度是 2.7 ×103 千克/ 米3，不管把鋁做成小鉚釘，還是大鋁塊，ρ 都是這個數(shù)值，怎能說它與質(zhì)量成正比，與體積成反比呢?所以公式 ρ=m/v 只是提供了一種測量和計(jì)算密度的方法，即，當(dāng)測出物體的質(zhì)量和體積，就可利用這一公式計(jì)算出構(gòu)成這一物體的物質(zhì)的密度。

（5）在進(jìn)行物理計(jì)算、推理時，要把物理計(jì)算和簡潔的文字說理結(jié)合起來，才能使解決問題的過程物理思路清晰，方法簡明嚴(yán)格。計(jì)算得到的結(jié)果，也要明確它的物理意義。

（6）要養(yǎng)成用作圖來表示物理過程和規(guī)律的習(xí)慣，如畫物體受力圖，簡單機(jī)械的力圖，晶體的熔解曲線，物體的運(yùn)動情況圖，光路圖等。自覺學(xué)會按題畫圖，看圖識義，提高正確用圖的能力，克服做練習(xí)不畫圖，不用圖的壞習(xí)慣。

總之，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法表述物理概念、描述物理規(guī)律、解決物理問題的過程，就是物理問題與數(shù)學(xué)問題相互達(dá)到統(tǒng)一的過程。數(shù)學(xué)思想與方法必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理內(nèi)容的統(tǒng)一，這是我們解決物理問題的重要原則。

參考文獻(xiàn)：

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