運(yùn)用一元二次方程根的分布對一個數(shù)學(xué)問題的求解進(jìn)行探究

王觀忠

運(yùn)用一元二次方程根的分布對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，是中學(xué)數(shù)學(xué)非常重要的一個知識點(diǎn)，如何運(yùn)用一元二次方程根的分布對數(shù)學(xué)問題求解，也是讓不少同學(xué)感到十分棘手的問題. 下面我就談?wù)勥\(yùn)用一元二次方程根的分布對一個數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解的具體方法.

題目 （１）已知拋物線Ｃ１ ∶ ｙ２ ＝ ａｘ（ａ ≠ ０）與圓Ｃ２ ∶ （ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １． 當(dāng)a為何值時，C1與C2（１）有兩個不同的公共點(diǎn)？

（２）有四個不同的公共點(diǎn)？（３）沒有公共點(diǎn)？

分析 顯然兩曲線的交點(diǎn)問題可歸結(jié)到方程組

y2 = ax，（ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １ 的求解問題.

探究１ 將方程組消去ｙ，得

ｘ２ ＋ （ａ － ４）ｘ ＋ ３ ＝ 0.①

（１）結(jié)合圖1，易知兩曲線有兩個不同的公共點(diǎn)等價于方程①在區(qū)間（１，２）內(nèi)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，于是有

Δ = 0，1 < - < 2?圯a = 4 ± 2，0 < a < 2?圯 a = 4 - 2.

∴兩曲線有兩個不同的公共點(diǎn)時，a的取值范圍為

M ＝ ｛ａ｜ａ ＝ ４ － ２｝.

（２）結(jié)合圖2，易知兩曲線有四個不同的公共點(diǎn)等價于方程①在區(qū)間（１，３）內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

記ｆ（ｘ） = x2 + （a- 4）x + 3，則

Δ > 0，ｆ（１） > 0，ｆ（３） > 0，1 < - < 3?圯a > 4 + 2或a < 4 - 2，a > 0，-2 < a < 2，

解得0 < a < 4- 2.

∴兩曲線有四個不同的公共點(diǎn)時，ａ的取值范圍為

Ｎ ＝ ｛ａ｜０ ＜ ａ ＜ ４ － ２｝.

（３）兩曲線無公共點(diǎn)等價于方程①在區(qū)間（１，３）內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根．記Ｕ ＝ （－∞，０）∪（０，＋∞），則兩曲線沒有公共點(diǎn)時，ａ的取值范圍為Ｕ（Ｍ∪Ｎ）＝｛ａ｜ａ ＜ ０或ａ ＞ ４ － ２｝.

探究２ 將方程組消去ｘ，得ｙ４ ＋ （ａ２ － ４ａ）ｙ２ ＋ ３ａ２ ＝ ０.②

記ｙ２ ＝ ｔ（ｔ ≥ ０），則方程化為

t2 + （ａ２ － ４ａ）ｔ ＋ ３ａ２ ＝ ０.③

（１）結(jié)合圖1，易知兩曲線有兩個不同的公共點(diǎn)等價于方程②在區(qū)間（－１，１）內(nèi)有兩個互為相反數(shù)的非零實(shí)數(shù)根，即等價于方程③在區(qū)間（０，１）內(nèi)有兩個相等的正實(shí)數(shù)根，則

Δ = 0，0 < - < 1 ?圯 a = 4 - 2.

∴兩曲線有兩個不同的公共點(diǎn)時，ａ的取值范圍為

Ｅ ＝ ｛ａ｜ａ ＝ ４ － ２｝.

（２）結(jié)合圖2，易知兩曲線有四個不同的公共點(diǎn)等價于方程②在區(qū)間［－１，１］內(nèi)有兩組互為相反數(shù)的非零實(shí)數(shù)根，即方程③在區(qū)間（０，１〕內(nèi)有兩個不相等的正根.

記ｇ（ｔ） ＝ ｔ２ ＋ （ａ２ － ４ａ）ｔ ＋ ３ａ２．

并注意到ｇ（０） ＝ ３ａ２ ＞ ０，ｇ（１） ＝ （２ａ － １）２ ≥ ０．

于是有

Δ > 0，0 < - ≤ 1 ?圯 a < 4 - 2或a > 4 + 2,0 < a < 2 -或2 + < a < 4?圯

0 < a < 4 - 2.

∴兩曲線有四個不同的公共點(diǎn)時，a的取值范圍為

F ＝ ｛ａ｜０ ＜ ａ ＜ ４ － ２｝.

（３）兩曲線無公共點(diǎn)等價于方程②在區(qū)間［－１，１］上沒有實(shí)數(shù)根，即方程③在區(qū)間［０，１］上沒有實(shí)數(shù)根． 則兩曲線沒有公共點(diǎn)a時的取值集合為

U（E∪F） = ｛a|a < 0或a > 4 - 2｝．

評析 該題目探究２的解法難度要比探究１的解法難度大，顯然不是簡便解法，但探究２引出了一個新問題，即對方程組消元后導(dǎo)出的方程為高次方程（雙二次方程），通過換元轉(zhuǎn)化成一元二次方程，再運(yùn)用一元二次方程與二次函數(shù)圖像間的關(guān)系進(jìn)行求解.通過探究１和探究２的解題過程，加深了學(xué)生對一元二次方程實(shí)根的分布和二次函數(shù)圖像之間關(guān)系的理解，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力， 同時也逐步培養(yǎng)了學(xué)生探究式的學(xué)習(xí)能力，形成從模仿型轉(zhuǎn)向研究型的學(xué)習(xí)理念.