在錯(cuò)誤中再生

李海燕

【摘要】 數(shù)學(xué)是作為衡量一個(gè)人能力的一門重要學(xué)科，相對(duì)其他學(xué)科，概念抽象，習(xí)題繁多，受其學(xué)科特點(diǎn)決定. 數(shù)學(xué)解題則是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中一項(xiàng)必不可少的內(nèi)容. 學(xué)生的解題錯(cuò)誤信息實(shí)際上是一種重要的教學(xué)資源. 怎樣充分地利用好這一資源來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，是一個(gè)值得我們認(rèn)真研究的課題.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題；錯(cuò)誤信息

一、問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)解題是促使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要方式. 在解題過(guò)程中，由于個(gè)體認(rèn)知能力的差異，學(xué)法解法的差異以及學(xué)生思維能力的差異，總是存在諸多的錯(cuò)誤. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一旦有了解題，則錯(cuò)誤不可避免，我們無(wú)法達(dá)到使每名學(xué)生在解題中不犯錯(cuò)誤的程度，但我們可以盡可能使學(xué)生在解題中少犯錯(cuò)誤，減少出現(xiàn)錯(cuò)誤的機(jī)會(huì). 這除了教學(xué)中所需作出的努力外，我想，就其錯(cuò)誤本身，也是一道美麗的風(fēng)景，它能及時(shí)展示我們教學(xué)中存在的不足，了解學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，幫助教師了解學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的成因，以便更好地促其發(fā)展. 因此，我要說(shuō)，錯(cuò)誤也美麗，我們應(yīng)善待錯(cuò)誤.

二、課堂教學(xué)過(guò)程回饋

學(xué)生在進(jìn)行中考第二輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，通常以橫向?yàn)橹?，以專題的形式進(jìn)行深化提高，并周期性地做一些綜合練習(xí)，用相對(duì)較短的時(shí)間再作一個(gè)循環(huán)，以期突出重點(diǎn)，再度提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力. 學(xué)生由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面的原因，求解時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤. 怎樣幫助學(xué)生正確運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，有效地走出誤區(qū)呢？

1． 創(chuàng)設(shè)情境

和通常的復(fù)習(xí)課一樣，教師借助多媒體課件，系統(tǒng)地羅列了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)，然后提出一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｏ是ＣＤ邊的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心、ＯＣ長(zhǎng)為半徑作圓，交ＢＣ邊于點(diǎn)Ｅ．過(guò)Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ，垂足為Ｈ．已知⊙Ｏ與ＡＢ邊相切，切點(diǎn)為Ｆ.

（１）求證：ＯＥ∥ＡＢ；

（２）求證：ＥＨ ＝ ＡＢ；

（３）若 = ，求的值．

從不同的角度入手思考，可以得到這個(gè)問(wèn)題不同的解法. 通過(guò)學(xué)生嘗試，看學(xué)生誰(shuí)解得快，解得好，想到的方法不同.

問(wèn)題提出后，猶如一石激起千層浪，學(xué)生的探究熱情被激發(fā)出來(lái)，他們躍躍欲試，立即投入到解法的探索中去.

２． 展示錯(cuò)解

在學(xué)生求解的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生１和學(xué)生２很快得出了結(jié)果，他們所用的解法不同，但都是錯(cuò)誤的，且具有一定的典型性和代表性. 于是，組織學(xué)生對(duì)此解法展開(kāi)討論，進(jìn)行辨析. 學(xué)生１在證明第（１）小題中用到了以下的方法：

證明 連接ＯＦ.

∵ ⊙Ｏ與ＡＢ切于點(diǎn)Ｆ，

∴ ＯＦ⊥ＡＢ.

∵ ＥＨ⊥ＡＢ，

∴ ＯＦ ∥ＥＨ，

∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°，

∴ ＯＥ ∥ＡＢ.

學(xué)生２在證明第（２）（３）小題中有如下過(guò)程：

證明 （２）連接ＯＦ.

∵ ⊙Ｏ與ＡＢ切于點(diǎn)Ｆ ，

∴ ＯＦ⊥ＡＢ.

∵ ＥＨ⊥ＡＢ，

∴ ＯＦ ∥ＥＨ.

又∵ ＯＥ∥ＡＢ，

∴四邊形ＯＥＨＦ為平行四邊形，

∴ ＥＨ＝ ＯＦ.

∵ ＯＦ ＝ ＣＤ ＝ ＡＢ，

∴ ＥＨ ＝ ＡＢ.

解 過(guò)Ｏ作ＯＧ⊥ＢＣ于Ｇ.

∵四邊形ＯＥＨＦ為平行四邊形，

又∵∠ＯＦＨ ＝ ９０°，

又∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ，

∴ ＯＥＨＦ為正方形，

∴ ＯＥ ＝ ＥＨ，∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°.

又∵ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°，

∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°.

∵ ∠Ｂ ＋ ∠ＨＥＢ ＝ ９０°，

∠ＯＥＧ＋∠ＨＥＢ ＝ ９０°，

∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＧ，

∴△ＥＨＢ ≌ △OEG，

∴ ＢＨ ＝ ＥＧ.

∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，ＯＧ⊥ＢＣ，

∴ ＥＧ ＝ ＥＣ,

∴= .

3． 錯(cuò)題辨析

學(xué)生經(jīng)過(guò)激烈地討論，發(fā)現(xiàn)這兩名學(xué)生的解法表面好像是對(duì)的，實(shí)際上卻都是錯(cuò)誤的解法.

學(xué)生指出：學(xué)生１對(duì)ＯＦ∥ＥＨ后的同位角搞錯(cuò)了，以為是∠ＢＨＥ與∠ＯＥＨ. 正確的解法可為：

在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ＤＣ．

∴ ∠Ｂ ＝∠Ｃ.

∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，

∴ ∠ＯＥＣ ＝ ∠Ｃ，

∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＣ，

∴ ＯＥ∥ＡＢ.

教師：學(xué)生２的解法表面上看來(lái)是正確的，那解法是否正確呢？學(xué)生指出：學(xué)生２所找的邊雖然相等，但并不是對(duì)應(yīng)邊，由此解錯(cuò). 正確的做法為：

連接ＤＥ.

∵ ＣＤ是直徑，

∴ ∠ＤＥＣ ＝ ９０°，

則∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ.

又∵ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，

∴ △ＥＨＢ∽△ＤＥＣ，

∴= .

∵= ，

設(shè)ＢＨ ＝ ｋ，

則ＢＥ ＝ ４ ｋ，ＥＨ ＝= k，

∴ ＣＤ ＝ ２ＥＨ ＝ ２k，

∴=== .

錯(cuò)誤往往是正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤也往往是發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，學(xué)生的“錯(cuò)解”有其內(nèi)在的合理性，從學(xué)生的“錯(cuò)解”中揀出合理的成分，補(bǔ)救出新的解法，探索出新的規(guī)律和結(jié)論，讓學(xué)生“從跌倒的地方自己爬起來(lái)”，使學(xué)生獲得從失敗走向成功的思維過(guò)程的體驗(yàn).

4． 更進(jìn)一步

教師又補(bǔ)充了這樣的一道題目：

如圖4，點(diǎn)Ｅ是平行四邊形ＡＢＣＤ的邊ＡＢ的中點(diǎn)，Ｆ是ＢＣ邊上一動(dòng)點(diǎn)，線段ＤＥ和ＡＦ相交于點(diǎn)Ｐ，連接PC，過(guò)點(diǎn)A作ＡＱ∥ＰＣ交PD于Q．

（１）證明：ＰＣ ＝ ２ＡＱ；

（２）當(dāng)點(diǎn)Ｆ為ＢＣ的中點(diǎn)時(shí)，試猜想PF = 2AP是否成立. 若成立，試說(shuō)明理由；若不成立， 試求 的值．

探究是沒(méi)有止境的，學(xué)生在錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)了解題的思路和不同的方法.

法一：（１）連接AC交DE于點(diǎn)K，如圖5.

∵ ＡＥ∥ＤＣ，∴∠ＡＥＰ ＝ ∠ＣＤＰ，

又∠ＡＫＥ ＝ ∠ＣＫＤ，∴△ＡＫＥ∽△ＣＫＤ，

∴== .

∵AQ∥PC，∴∠KAQ = ∠PCK，

又∠AKQ = ∠CKP，

∴ △AKQ∽△CKP.

∴= ，

∵= ，∴ = ，

即ＰＣ ＝ ２ＡＱ．

法二：（１）延長(zhǎng)ＤＥ，ＣＢ相交于點(diǎn)Ｒ，作ＢＭ∥ＰＣ，如圖5.

∵ AQ∥PC，BM∥PC，∴MB∥AQ. ∴∠AQE = ∠EMB.

∵ E是ＡＢ的中點(diǎn)，Ｄ，Ｅ，Ｒ三點(diǎn)共線，

∴AE = EB，∠AEQ = ∠BEM．

∴ △AEQ ≌ △BEM，∴ AQ = BM.

同理△AED ≌ △REB． ∴ AD = BR = BC，

∵ BM∥PC，∴ △RBM ∽△RCP，

相似比是． ∴ PC = 2MB = 2AQ．

（２）當(dāng)點(diǎn)Ｆ為ＢＣ的中點(diǎn)時(shí)，PF = 2AP不成立．

作ＢＮ∥ＡＦ，交ＲＤ于點(diǎn)Ｎ，如圖6．

則△RBN ∽△RFP．

∵F是ＢＣ的中點(diǎn)，ＲＢ ＝ ＢＣ，

∴ RB = RF.

∴== ．

又AE = BE，∠NEB = ∠PEA，∠NBE = ∠PAE，

∴ △BNE ≌ △APE，

∴ AP = BN.

∴ AP = BN = PF.

即 = ．

珍視并合理地開(kāi)發(fā)日常教學(xué)中的錯(cuò)誤資源，注意在學(xué)生的錯(cuò)誤中生成探究課題，以此為契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)，可以大大地激發(fā)學(xué)生課堂參與的熱情，讓死的知識(shí)活起來(lái)，變單純的傳遞與接受為積極主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建，從而達(dá)到轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)功能和學(xué)習(xí)方式的目的，使課堂充滿生命的活力，在師生不斷地“識(shí)錯(cuò)”、“思錯(cuò)”和“糾錯(cuò)”的過(guò)程中，新的問(wèn)題不斷地被發(fā)現(xiàn)，新的資源不斷地生成，這對(duì)于教學(xué)視野的拓展、教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變以及學(xué)生創(chuàng)造性智慧的激發(fā)都可以起到十分重要的作用.

三、教學(xué)感悟

面對(duì)日常教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)解，教師怎樣才能有效地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，使學(xué)生從錯(cuò)誤中走出來(lái)呢？實(shí)際教學(xué)中，許多教師喜歡采用“告訴”的方法，一是針對(duì)學(xué)生解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行集中講評(píng)，告訴學(xué)生錯(cuò)因和注意事項(xiàng)，要求學(xué)生不要再犯類似的錯(cuò)誤；二是對(duì)學(xué)生容易出錯(cuò)的問(wèn)題，提前暗示，事先指出，叫做“防患于未然”，但效果往往是學(xué)生聽(tīng)起來(lái)懂，做起來(lái)錯(cuò)，學(xué)生責(zé)怪自己粗心，教師埋怨學(xué)生太笨. 果真如此嗎？心理學(xué)家貝恩布里說(shuō)過(guò)：“差錯(cuò)人皆有之，而作為教師，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤不加以利用則是不能原諒的. ”而犯錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤的過(guò)程也是一種學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，也應(yīng)該由學(xué)生自己建構(gòu)起來(lái)，成功的樂(lè)趣只有在經(jīng)歷挫敗的痛楚后才能獲得更深切的體驗(yàn).

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