函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用

溫滿江

隨著新課程改革的實(shí)施與不斷創(chuàng)新，近幾年來(lái)，數(shù)列與函數(shù)的綜合已成為高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，兩者交融的試題常常作為學(xué)生綜合能力考查的把關(guān)題。因此，在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充利用函數(shù)有關(guān)知識(shí)，以它的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題。

一、理清數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，an即為所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)，而數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式?？梢?jiàn)，任何數(shù)列問(wèn)題都蘊(yùn)涵著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征。特別地，對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式與二次函數(shù)聯(lián)系相當(dāng)緊密，一般都是按照求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題。同時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)求和公式也與我們非常熟悉的指數(shù)函數(shù)聯(lián)系相當(dāng)緊密。

二、巧助函數(shù)解析式解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，由已知的函數(shù)解析式巧解數(shù)列問(wèn)題是函數(shù)與數(shù)列交匯的基本形式體現(xiàn)。一般地，解決此類問(wèn)題，主要是要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的特殊函數(shù)關(guān)系這一概念的理解與分析，進(jìn)而合理地找到解決問(wèn)題的主要思路和方法。

例1設(shè)函數(shù)f（x）=，求和s=f()+f()+…+

f()。

解析：我們知道，函數(shù)f（x）=具有一個(gè)重要特性，即

f（1-x）+f（x）=1，因此可利用這一特性解決求和的相關(guān)問(wèn)題。

解：因?yàn)閒（x）=，所以f（1-x）===，

所以由f（1-x）+f（x）=1可知，有

s=f()+f()+…+f()， ①

s=f()+f()+…+f()。 ②

①+②得2s=2001，

即s=。

三、借助函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題

函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)特征的顯性反映，深入了解并利用函數(shù)的性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，會(huì)收到事半功倍的良好效果。如函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及函數(shù)圖像等特殊性質(zhì)在數(shù)列中應(yīng)用非常廣泛。數(shù)列的通項(xiàng)公式就是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)需要分析數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，找準(zhǔn)單調(diào)區(qū)間，或畫(huà)出圖像觀察最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)時(shí)，通常有兩種方法：一是考查數(shù)列的單調(diào)性；二是做出數(shù)列的點(diǎn)列圖形。通過(guò)下面這些問(wèn)題的分析，不但可以使學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)的性質(zhì)，而且可以提高學(xué)生解決數(shù)列問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全面分析問(wèn)題與綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

例2等差數(shù)列｛a｝中，Sn是它的前n項(xiàng)和。已知a5=10，Sn=3，求證：數(shù)列｛Sn｝是單調(diào)遞增數(shù)列。

解析：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和及函數(shù)性質(zhì)，因此可先求出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)考慮單調(diào)性。

證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a1=-2，d=3，將其代入前n項(xiàng)和公式中有Sn=n2-n=（n-）2-。

設(shè)Sn對(duì)應(yīng)函數(shù)為：y=（x-）2-，

則由二次函數(shù)性質(zhì)易知當(dāng)x≥時(shí)，函數(shù)y=（x-）2-為增函數(shù)。

所以，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn+1≥Sn。

另一方面，由Sn=（n-）2-可知Sn的最小值在n=1時(shí)取得，即（Sn）min=S1，從而有S1

所以，數(shù)列｛Sn｝是單調(diào)遞增數(shù)列。

四、結(jié)合函數(shù)圖像解決數(shù)列問(wèn)題

通常，函數(shù)圖像是函數(shù)特征的直觀體現(xiàn)，利用圖像解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)形結(jié)合）是我們經(jīng)常采用的手段。因此，在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們利用數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中所反映的函數(shù)圖像來(lái)解決問(wèn)題，常常會(huì)起到意想不到的效果。

例3 已知an=，則在數(shù)列｛an｝的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是（ ）。

A. a1，a30 B. a1，a9 C. a10，a9 D. a10，a30

解：通過(guò)常數(shù)分離，可將an=分離為部分分式an=1+。

如圖所示，類似反比例函數(shù)的圖像，顯然a9最小，a10最大。故選C。

通過(guò)上述實(shí)例的分析與說(shuō)明，我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)重視函數(shù)思想的滲透，應(yīng)該把函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中，通過(guò)數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的相互交匯，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善，同時(shí)也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。另外，對(duì)上述問(wèn)題還有許多其他的解法，我們應(yīng)注意引導(dǎo)與發(fā)散，從而進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

總之，數(shù)學(xué)方法是提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的主要基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的主要陣地。為此，我們?cè)诮虒W(xué)中必須樹(shù)立與時(shí)俱進(jìn)的教育觀念，通過(guò)創(chuàng)設(shè)愉悅、和諧的教學(xué)氛圍，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題教學(xué)有效啟發(fā)學(xué)生思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)其思維能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，喚起學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，最終在教學(xué)活動(dòng)中努力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

（通渭縣第二中學(xué)）