數(shù)學(xué)分析中的三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)迭代公式

岳靜

摘要： 本文討論了閉區(qū)間上嚴(yán)格非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)迭代公式的構(gòu)造問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 嚴(yán)格非擴(kuò)展映射不動(dòng)點(diǎn)迭代

文章通過(guò)對(duì)迭代公式中系數(shù)參量的變化，討論了閉區(qū)間上嚴(yán)格非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)的具體構(gòu)造方法，從而得到三個(gè)數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)結(jié)果.

第一部分：引理

引理：若函數(shù)f滿足

（?。ゝ（[a，b]）？奐[a，b]；

（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y，有|f（x）-f（y）|<|x-y|；

（ⅲ）任取x∈[a，b]并令

x=αx+（1-α）f（x），（≤α<1，n=1，2，…）.

則{x}為[a，b]上的單調(diào)數(shù)列.

證明：由條件（?。áⅲ┛芍猣在[a，b]上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為.分x=，x<，x>三種情況討論：

若x=，則x≡，即{x}為常數(shù)列，結(jié)論顯然；

若x<，則由條件（ⅱ）有|f（x）-f（）|<|x-|

即

|f（x）-|<|x-|=-x

即

x

于是

x=αx+（1-α）f（x）

>αx+（1-α）x

=x

x=αx+（1-α）f（x）

<αx+（1-α）（2-x）

=2-2α（-x）-x（≤α<1）

≤2-2×（-x）-x

=2-+x-x

=

即

x

類(lèi)似地有

x

即{x}在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增.

若x>，類(lèi)似可證{x}在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)遞減.

第二部分：主要結(jié)論

1985年徐州師范大學(xué)研究生入學(xué)試題中有這樣一道題：

設(shè)函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)，且有

f（[a，b]）？奐[a，b]

試證（ⅰ）？堝x∈[a，b]使得f（x）=x；

（ⅱ）若f單調(diào)遞減則（?。┲械膞是唯一的；

（ⅲ）若？坌x，y∈[a，b].x≠y，有|f（x）-f（y）|<|x-y|.

則（ⅰ）中的x是唯一的.

這道試題涉及了不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性卻沒(méi)有給出不動(dòng)點(diǎn)的具體構(gòu)造方法.我們通過(guò)數(shù)學(xué)分析中的方法，給出下面的三個(gè)定理.從而依次給出不動(dòng)點(diǎn)的三個(gè)迭代公式.

定理1：設(shè)函數(shù)f滿足

（ⅰ）f（[a，b]）？奐[a，b]；

（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y.有|f（x）-f（y）|<|x-y|；

（ⅲ）任取x∈[a，b].并令x=[x+f（x）].n=1，2，…，則有唯一的∈[a，b]，使

x=且f（）=.

證明：易證函數(shù)f有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，不妨令為.

須證x=

即證|x-|=0

若x=，則顯然有x=

若x<.則

0<|x-|=|[x+f（x）]-|

=|（x-）+[f（x-f（）]|

≤|x-|+|f（x）-f（）|

<|x-|

即{|x-|∶n=1，2，3…}嚴(yán)格單調(diào)遞減有下界，據(jù)單調(diào)有界定理知

|x-|=m

存在.易知m=0.若不然，則m>0.由引理，令α=（n=1，2，…）.即知{x}是單調(diào)的，于是？坌ε>0，？堝N∈N.當(dāng)n>N時(shí)，

m-ε

即有

+m-ε

即

x=+m（或x=-m）

由條件（ⅲ）有

x=[x+f（x）]

=x+f（x）

=（+m）+f（+m）

=+m

（或x=（-m）+f（-m）=-m）

即有

f（+m）=+m.（或f（-m）=-m）

即有+m（或-m）也是f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，這與的唯一性矛盾.

故m=0.

把本定理中迭代公式的系數(shù)參量加以變化有：

定理2：設(shè)函數(shù)f滿足定理1中的條件（?。?，（ⅱ），（ⅲ）任取x∈[a，b].并令

x=αx+（1-α）f（x）（≤α<1，n=1，2，…）

則有唯一的∈[a，b]使

x=且f（）=.

證明：證法與定理1完全類(lèi)似.

把本定理中的條件（ⅲ）再加以變化可得到如下結(jié)果：

定理3：設(shè)函數(shù)f滿足定理1中條件（?。?，（ⅱ）且有

（ⅲ）任取x∈[a，b].并令

x=αx+（1-α）f（x）（≤α<1，n=1，2，…）.

其中α=α（≤α<1）.

則有唯一的∈[a，b]，使

x=，且f（）=.

證明：的存在性和唯一性易證

須證x=.

類(lèi)似于定理1中的證明有

|x-|=m

存在，則m=0，不然有m>0.類(lèi)似于定理1中的證明，有

x=+m（或x=-m）

有條件（ⅲ）有

x=[αx+（1-α）f（x）]

=α·x+（1-α）f（x）

=α（+m）+（1-α）f（+m）

=+m

（或x=α（-m）+（1-α）f（-m）=-m）

于是有

f（+m）=（+m）（或f（-m）=-m）

這與是f的唯一不動(dòng)點(diǎn)矛盾，故m=0.

參考文獻(xiàn)：

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