函數(shù)奇偶性概念教學(xué)的有效性

馬麗拉 趙云河

摘要: 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),正確地理解函數(shù)的奇偶性概念及其判別,并能靈活應(yīng)用有著重要作用.文章從函數(shù)的定義域、函數(shù)的變形、含參數(shù)函數(shù)及零值函數(shù)等方面對(duì)函數(shù)奇偶性的判定中應(yīng)注意的問(wèn)題進(jìn)行深入分析,從而達(dá)到提高概念教學(xué)有效性的教學(xué)目標(biāo).

關(guān)鍵詞: 函數(shù)奇偶性概念教學(xué)有效性

函數(shù)奇偶性的概念,現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)是這樣定義的:

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù);如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).[1]

函數(shù)的奇偶性從定義上看比較簡(jiǎn)單,但其內(nèi)容及變化卻非常豐富,深入挖掘函數(shù)的奇偶性概念及其判別的內(nèi)涵,并能靈活應(yīng)用,對(duì)函數(shù)作圖、性質(zhì)分析等有著重要的作用,是提高概念教學(xué)有效性的重要途徑.

根據(jù)現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求,學(xué)生必須了解函數(shù)奇偶性的定義,掌握其常用的判定方法,但由于其定義較簡(jiǎn)單,而教材又沒(méi)有作更多的分析,在具體進(jìn)行函數(shù)奇偶性的判定時(shí),出現(xiàn)了一些似是而非的問(wèn)題和錯(cuò)誤,在教學(xué)中有必要對(duì)一些應(yīng)注意的問(wèn)題作進(jìn)一步的分析和說(shuō)明.

一、判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意定義域

教材在進(jìn)行函數(shù)奇偶性的定義時(shí),完全沒(méi)有涉及函數(shù)定義域的具體情況,按這樣的定義不加解釋地進(jìn)行教學(xué),就會(huì)使學(xué)生形成不準(zhǔn)確的概念,認(rèn)為只要形式上有f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),有f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),而與函數(shù)的定義域沒(méi)任何關(guān)系.研究函數(shù)的性質(zhì)必須以函數(shù)的定義域?yàn)榛A(chǔ),離開(kāi)定義域去研究所謂函數(shù)的性質(zhì),往往會(huì)犯錯(cuò)誤.

事實(shí)上,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù),則±x∈D必同時(shí)成立,說(shuō)明D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,即函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

例1:判定下列函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由.

(1)f(x)=x■+3cosx(-2≤x≤3);(2)f(x)=■.

解:(1)因?yàn)閒(-x)=(-x)■+3cos(-x)=x■+3cosx=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).

(2)因?yàn)閒(-x)=■=■≠f(x)(或f(-x)),所以f(x)為非奇非偶函數(shù).

但以上兩解都錯(cuò)了.因?yàn)?1)中f(x)的定義域[-2,3]關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),所以f(x)為非奇非偶函數(shù),也可從圖像上可直觀(guān)地看出它的圖像不是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的.而(2)中若先求出定義域[-1,0)∪(0,1],則x+2>0,于是f(x)=■=■,則f(-x)=■=-■=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).

因此,在教學(xué)中務(wù)必使學(xué)生明確:(1)如果函數(shù)f(x)的定義域不是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么f(x)肯定不會(huì)是奇函數(shù)或偶函數(shù),即使從形式上看,等式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.(2)如果函數(shù)f(x)的定義域是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么才用等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)進(jìn)行奇偶性的判定.(3)如果已經(jīng)知道函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么它的定義域一定是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.

二、判斷函數(shù)奇偶性時(shí)應(yīng)注意f(-x)的變形

判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的基礎(chǔ)上,我們用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)來(lái)確定函數(shù)f(x)奇偶性.但在有些時(shí)候,表面上f(-x)并不等于-f(x)或f(x),這時(shí)不應(yīng)馬上得出該函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的結(jié)論,而應(yīng)利用一定技巧進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?再得出最后判定結(jié)果.

例2:判斷函數(shù)f(x)=ln(x+■)的奇偶性.

解:函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).有

f(-x)=ln[(-x)+■]=ln(■-x)

由于f(-x)不等于-f(x)或f(x),故f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).

但事實(shí)上該結(jié)論是錯(cuò)誤的,因?yàn)橛?/p>

f(-x)=ln(■-x)=ln[■]=ln(■-x)■=-ln(■-x)

所以f(x)是奇函數(shù).

如果上式不對(duì)第二步進(jìn)行變形,往往又會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論.

三、判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意f(x)=0的情形

例3:判定函數(shù)f(x)=■的奇偶性.

解:先求定義域.因?yàn)閘gcosx≥0,即cosx≥1;又因?yàn)?1≤cosx≤1,所以cosx=1.故函數(shù)的定義域?yàn)閤=2kπ(k∈Z),即定義域所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).又因?yàn)?/p>

f(-x)=■=■=f(x)

所以f(x)為偶函數(shù).

上述解法看上去似乎沒(méi)有什么問(wèn)題,定義域也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),函數(shù)也滿(mǎn)足等式f(-x)=f(x),但是當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí),f(x)=0,此時(shí)上述解法就有問(wèn)題了,因?yàn)橛?既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的單值函數(shù)必為零值函數(shù);反之,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的零值函數(shù)為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

由此可見(jiàn),例3中的函數(shù)f(x)實(shí)際上是零值函數(shù),因而它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

四、判斷含參數(shù)函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意參數(shù)的分類(lèi)

當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),一般可對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,應(yīng)該注意f(x)=0時(shí)參數(shù)滿(mǎn)足什么條件,即什么條件下f(x)=0.

例4:判斷函數(shù)f(x)=kcosx(k為參數(shù))的奇偶性.

解:函數(shù)的定義域?yàn)閤∈R.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=0,故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);當(dāng)k≠0時(shí),f(-x)=kcos(-x)=kcosx=f(x),故f(x)是偶函數(shù).

綜上所述,在判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí),應(yīng)按下面步驟進(jìn)行:(1)考慮函數(shù)f(x)的定義域,看定義域所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);(2)考慮函數(shù)f(x)是否為零值函數(shù);(3)考慮函數(shù)f(-x)是否等于-f(x)或f(x).

遵循上述步驟就能正確判斷函數(shù)的奇偶性,這在教學(xué)中應(yīng)引起重視.

參考文獻(xiàn):

[1]課程教材研究所等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)(必修1)[M].北京:人民教育出版社,2007.