三次函數(shù)在高考中的應(yīng)用

姜莉

近年來，高考中有關(guān)導(dǎo)數(shù)知識的題目，很多是以三次函數(shù)為載體來考查導(dǎo)數(shù)知識應(yīng)用的.從這些題目來看，考查的切入點(diǎn)大多還是以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值、最值、單調(diào)性等，通過不等式，恒成立等問題的形式，進(jìn)一步考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值、最值等），要注意結(jié)合一元二次方程、二次函數(shù)、二次不等式等有關(guān)的知識點(diǎn)（如方程根的分布、不等式恒成立等），培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力、語言轉(zhuǎn)換能力.大致有以下幾類.

一、與其他章節(jié)知識的綜合運(yùn)用

全國卷Ⅰ理的2009卷的第22題可視作對三次函數(shù)考查的一大亮點(diǎn).因?yàn)榇祟}首次將導(dǎo)數(shù)和線性規(guī)劃有機(jī)地結(jié)合起來，一改以往單純利用極值、最值、單調(diào)性考查不等式相關(guān)知識和分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想的老面孔，給人耳目一新的感覺.

例1（2009全國卷Ⅰ理）設(shè)函數(shù)f（x）=x+3bx+3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].

（I）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域；

（Ⅱ）證明：-10≤f（x）≤-.

分析：（I）這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力.（Ⅱ）這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度.主要原因是含字母較多，不易找到突破口.此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)f（x）=x+3bx+3cx中的b，（如果消c會較煩瑣）再利用x的范圍，并借助（I）中的約束條件得c∈[-2，0]進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性.

解：（I）f′（x）=3x+6bx+3c由題意知方程f′（x）=0有兩個(gè)根x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].則有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0，故有2b-c-1≤0c≤02b+c+1≤04b+c+4≥0，右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域.

（Ⅱ）由題意有f′（x）=3x+6bx+3c=0①

又f（x）=x+3bx+3cx②

消去b可得f（x）=-x+x.

又∵x∈[1，2]，且c∈[-2，0]，∴-10≤f（x）≤-.

二、含參數(shù)的三次函數(shù)極值問題，考查不等式技能及分類討論思想

探討含參數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，主要是考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，在分類討論的過程中，關(guān)鍵是如何確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn).這與方程f′（x）=0根的具體情況有關(guān)，根的個(gè)數(shù)決定了極大、極小值是否同時(shí)存在，還是只存在一個(gè).所以本質(zhì)上是對根進(jìn)行分類討論.

例2（2009山東卷文）已知函數(shù)f（x）=ax+bx+x+3，其中a≠0，

（1）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）取得極值？

（2）已知a>0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.

分析：本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想、化歸思想和分類討論的思想解答問題.

解：（1）由已知得f′（x）=ax+2bx+1，令f′（x）=0，得ax+2bx+1=0，f（x）要取得極值，方程ax+2bx+1=0必須有解，所以△=4b-4a>0，即b>a，此時(shí)方程ax+2bx+1=0的根為：

x==，x==，

所以f′（x）=a（x-x）（x-x）.

當(dāng)a>0時(shí)，

所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)a<0時(shí)，

所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.

綜上，當(dāng)a，b滿足b>a時(shí)，f（x）取得極值.

（2）要使f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，需使f′（x）=ax+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立.

即b≥--，x∈[0，1]恒成立，所以b≥（--）.

設(shè)g（x）=--，g′（x）=-+=，令g′（x）=0得x=或x=-（舍去），

當(dāng)a>1時(shí)，0<<1，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′（x）>0，g（x）=--為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)x∈（，1]時(shí)，g′（x）<0，g（x）=--為單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)x=時(shí)，g（x）取得最大，最大值為g（）=-.所以b≥-.

當(dāng)0

綜上，當(dāng)a>1時(shí)，b≥-；當(dāng)0

三、考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)f′（x）的幾何意義是曲線y=f（x）上點(diǎn)（x，f（x））處切線的斜率.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上一點(diǎn)處切線斜率是解決曲線的許多有關(guān)切線問題的基本方法，在求曲線的切線時(shí)，一定要注意判斷題目條件給出的點(diǎn)究竟是不是曲線上的點(diǎn).

例3（2009江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P在曲線C：y=x-10x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

解：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算能力.

y′=3x-10=2？圯x=±2，又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，15）.

評析：在高考中對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查這一類題目屬于簡單題，因此基本上為填空、選擇題的題型.但是在大多數(shù)省份的高考試卷中是必考題，真可謂是高考中的常青樹.

四、恒成立問題

如果要證明f（x）k（k為常數(shù)，x∈（a，b））恒成立，只要證明函數(shù)在（a，b）是單調(diào)遞減的，k為函數(shù)在（a，b）上的最小值即可.這類恒成立問題本質(zhì)是考查轉(zhuǎn)化思想，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定最值.

例4（2011江蘇卷19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x+ax，g（x）=x+bx，f′（x）和g′（x）分別是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設(shè)a>0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）設(shè)a<0且a≠b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值.

分析：本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想、化歸思想和分類討論的思想解答問題.

解：由已知，f′（x）=3x+a，g′（x）=2x+b，a，b∈R.

（1）由題設(shè)“單調(diào)性一致”定義知，f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間[-1，+∞）上恒成立，

即，（3x+a）（2x+b）≥0在區(qū)間[-1，+∞）上恒成立，

因?yàn)閍>0，所以3x+a>0，所以2x+b≥0在區(qū)間[-1，+∞）上恒成立，

即，b≥-2x在區(qū)間[-1，+∞）上恒成立，而y=-2x在[-1，+∞）上有最大值y=-2（-1）=2，

所以，b≥2，即b∈[2，+∞）.

（2）由“單調(diào)性一致”定義知，f′（x）g′（x）≥0在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上恒成立，

即，（3x+a）（2x+b）≥0在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上恒成立.

因?yàn)閍<0，所以，由（3x+a）（2x+b）=0，得x=-，x=，x=-.

①若b>0，則開區(qū)間為（a，b），取x=0，由f′（0）g′（0）=ab<0知，f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)性不一致，不符合題設(shè)；

②若b≤0，因x，x均為非負(fù)，故不在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)，所以，只有x在區(qū)間上.

由f′（x）g′（x）≥0在以a，b為端點(diǎn)的區(qū)間上恒成立，知x=-要么不小于a，b中的大者，要么不大于a，b中的小者.

因?yàn)閍，b都不大于0，所以（2x+b）≤0，由f′（x）g′（x）≥0知（3x+a）≤0，所以-≤x≤0.

當(dāng)0>a>b≥-時(shí)，由f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間（b，a）上恒成立，即（3x+a）（2x+b）≥0在區(qū)間（b，a）上恒成立，知|a-b|最大值為|a+|，而由a>-解得a>-.

此時(shí)，|a+|=|-（）+|，配方后知，取不到最大值.

當(dāng)0≥b>a≥-時(shí)，顯然，此時(shí)，當(dāng)b=0，a=-，即b=0，a=-時(shí)，|a-b|取得最大值|0-（-）|=；

綜上，|a-b|的最大值為.

針對上述考點(diǎn)，我們對三次函數(shù)的基礎(chǔ)知識應(yīng)有清晰的理解，對以下四個(gè)問題一定要理解透徹：

（1）確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟；

（2）三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由于是二次函數(shù)，則它的單調(diào)區(qū)間一般有幾段？具體如何確定？

（3）三次函數(shù)是否一定有極大值和極小值？

（4）三次函數(shù)的極值和最值有什么聯(lián)系和區(qū)別？

不妨設(shè)函數(shù)f（x）=ax+bx+cx+d（ab≠0），f′（x）=3ax+2bx+c，

（1）討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性可按如下步驟進(jìn)行：

①確定f（x）的定義域；

②求f′（x），令f′（x）=0，解方程求分界點(diǎn)；

③用分界點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開區(qū)間；

④判斷f′（x）在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號，即可確定f（x）的單調(diào)性.

（2）方程f′（x）=0，若判別式Δ>0，設(shè)不同的兩個(gè)根為x，x（x

①當(dāng)a>0時(shí)，（-∞，x）和（x，+∞）是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，（x，x）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x=x時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x=x時(shí)，函數(shù)取得極小值.

②當(dāng)a<0時(shí)，（-∞，x）和（x，+∞）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，（x，x）是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)x=x時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)x=x時(shí)，函數(shù)取得極大值.

（3）方程f′（x）=0，若判別式Δ=0，方程的兩個(gè)實(shí)根相等，設(shè)根為x，則：

①當(dāng)a>0時(shí)，（-∞，x）和（x，+∞）（或者實(shí)數(shù)集R）是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)沒有極值；

②當(dāng)a<0時(shí)，（-∞，x）和（x，+∞）（或者實(shí)數(shù)集R）是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)沒有極值.

（4）三次函數(shù)的極值不一定是最值，只有給出函數(shù)的定義域[a，b]，通過確定函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性和極值，用極值和端點(diǎn)值比較，較大的是最大值，較小的是最小值.

三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，所以我們對一元二次函數(shù)和一元二次方程的相關(guān)基礎(chǔ)知識要能熟練掌握，比如：一元二次函數(shù)的對稱性，函數(shù)單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，函數(shù)值的分布與對應(yīng)方程的根的關(guān)系，一元二次方程的韋達(dá)定理，滿足根的各種分布情況的條件等.