一類數(shù)陣問題的探索與思考

徐學(xué)芹

【摘要】等差數(shù)列或是等比數(shù)列按照一定的規(guī)律把取出來的元素排成一個數(shù)陣，每行元素的個數(shù)成等差或等比數(shù)列，求第n行元素之和S璶.

【關(guān)鍵詞】數(shù)陣;數(shù)學(xué)歸納法オ

最近我們的學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)歸納法這一章節(jié)，書后習(xí)題中出現(xiàn)了這樣的一類題目：一個等差數(shù)列或是等比數(shù)列按照一定的規(guī)律把取出來的元素排成一個數(shù)陣，每行元素的個數(shù)成等差或等比數(shù)列，求第n行元素之和S璶，難一點的，還會在某幾個S璶的和上做文章.下面我們一起來探討一下這類問題.

蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選修2-2的第91頁第9題：將正整數(shù)作如下分組：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10），（11,12,13,14,15），（16,17,18,19,20,21），…，分別計算各組所包含的正整數(shù)的和如下，試用不完全歸納法猜測S1+S3+㏒5+…+S2n-1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

S1=1

S2=2+3=5

S3=4+5+6=15

S4=7+8+9+10=34

S5=11+12+13+14+15=65

S6=16+17+18+19+20+21=111

……

解答本題的關(guān)鍵是弄清M﹌+1=M璳+S2k+1這一關(guān)系式，則要有M璶=n4(n∈N*)的猜想以及弄清第n行元素的和S璶如何求這兩個問題.

我引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的幾個問題：

(1）題中所給的每一行的元素有什么特征？

(2）題中所給的每一行的元素個數(shù)有什么特點？

(3）題中所給的每一行的首位元素或末尾元素有何特點？能否將第n行的首位元素或末尾元素寫出來？

(4）能否將第n行元素的和S璶表示出來？

觀察思考了幾分鐘之后，學(xué)生開始活躍起來，問題的答案也呼之欲出了.不難發(fā)現(xiàn)：

(1)將所有元素放在一起構(gòu)成一個以1為首項、公差為1的等差數(shù)列；

(2)每一行的元素個數(shù)就是它的行數(shù)；

(3)第n行的末尾元素即為前n行的元素總個數(shù)n(n+1)[]2，第n行的首位元素即為第n-1行的末尾元素加1即前n-1行的元素總個數(shù)加1，即n(n-1)[]2+1.

(4)S璶=n(n-1)[]2+1+n(n-1)[]2+2+…+n(n-1)[]2+n

=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2·n[]2=n3+n[]2.

解 記M璶=S1+S3+…+S2n-1，由已知得M1=1,M2=16,M3=81,M4=256.猜想M璶=n4(n∈N*).ブっ

(1）當(dāng)n=1,M1=1時，猜想成立.

(2）設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時命題成立，

即M璶=S1+S3+…+S2n-1=k4.

下面證明n=k+1時猜想也成立.

事實上，由題設(shè)及上述分析可知：

S璶=n(n-1)[]2+1+n(n+1)[]2·n[]2=n3+n[]2，

則S2k+1=(2k+1)3+(2k+1)[]2=4k3+6k2+4k+1，

從而M﹌+1=M璳+S2k+1=k4+(4k3+6k2+4k+1)=(k+1)4，所以n=k+1時猜想也成立.

綜合(1）(2），猜想對任何n∈N*都成立，忽然想起蘇教版高中《數(shù)學(xué)》必修5《數(shù)列》的第44頁第12題，觀察：

1

1+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+4+3+2+1

……

（1） 第100行是多少個數(shù)的和？這些數(shù)的和是多少？

（2） 計算第n行的值.

觀察一下可以發(fā)現(xiàn)：

(1） 第100行是199個數(shù)的和，這些數(shù)的和是2（1+2+3+…+100）-100=10000.

(2） 第n行的值是1+2+3+…+n+…+2+1=2（1+2+3+…+n）-n=n2.

倘若加上第三問，比如：假設(shè)第n行的值為S璶，設(shè)M璶=S1+S2+…+S璶，求出M1,M2,M3,M4,試用不完全歸納法猜測M璶的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.這樣不就變成一個完整的數(shù)學(xué)歸納法證明了嗎？猜想的過程可參照蘇教版高中“數(shù)學(xué)”選修2-2的第72~74頁案例賞析的第一個案例正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)，具體的數(shù)學(xué)歸納法證明可參照蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選修2-2的第87頁例3.想起我對我的學(xué)生常念叨的兩句話：把課本用好，基礎(chǔ)不等于簡單.試想，我們的高考題不就是基于課本源于課本，某種程度上可以高于課本嗎？