例說“化折為直”思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江一峰

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”，記錄了將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后，再回到B點(diǎn)宿營的活動(dòng)過程（如圖1）.人們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：飲馬點(diǎn)該選在何處才能使總行程最短.無獨(dú)有偶，古希臘的一位將軍更是把這個(gè)問題提交給數(shù)學(xué)家海倫求解.于是，這個(gè)問題就有了它的專有名稱——將軍飲馬.

圖 1其實(shí)，“將軍飲馬”抽象成數(shù)學(xué)問題即為：點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，在MN上求一點(diǎn)S，使㏒A+猄B為最小.海倫的解法十分巧妙，作點(diǎn)A關(guān)于軸MN的對(duì)稱點(diǎn)A′,A′B與MN的交點(diǎn)S就是所求之點(diǎn).理由是對(duì)于MN上任一點(diǎn)S′,S′A+S′B=S′A′+S′B≥A′B=AS+SB.

探究其解題的思想方法，采用的是“化折為直”的方法，依據(jù)是平面幾何中的公理：連接兩點(diǎn)的線中以直線段為最短.這一數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中會(huì)經(jīng)常得到運(yùn)用.下面舉例說明之.

圖 2例1 如圖2，已知正方形ABCD內(nèi)有一正三角形ABE，試在其對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使PD+PE最小.

解析 因?yàn)辄c(diǎn)D，E在直線AC的同側(cè)，很明顯，例1

就是將軍飲馬問題.點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B,

所以PD=PB,從而只需PB+PE最小即可，故當(dāng)P，B，E三點(diǎn)共線時(shí)PB+PE最小,即點(diǎn)P在直線AC與直線BE的交點(diǎn)時(shí)PD+PE最小，最小值就是正方形的邊長(zhǎng).

圖 3例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,0)，B(a+5,0)，C(7,9)，D(5,5)，當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值.

解析 因?yàn)榫€段AB=5，CD=25均為定值，

所以，欲使四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，只需AD+BC最小即可.

過A作AE∥BC且AE=BC，則問題轉(zhuǎn)化為求AD+AE最小，如此，問題又轉(zhuǎn)化成將軍飲馬問題，不難求得a=55[]14.

“化折為直”思想方法的用武之地有時(shí)候并不是一眼就可發(fā)現(xiàn)，往往在隱蔽之中，需要具備較強(qiáng)的洞察能力.

圖 4例3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(2,8)，B(6,2)，試在x軸上求一點(diǎn)Q,y軸上求一點(diǎn)P，使折線APQB最短.

解析 怎樣把折線APQB“化直”而使之為最短呢？先

作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，再作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，分別交x軸、y軸于點(diǎn)Q和點(diǎn)P，則此時(shí)折線APQB最短，最小值為241.

如果把上題中的直角坐標(biāo)系改成一般的仿射坐標(biāo)系，那么就有下面的問題，解法與例3如出一轍，不再贅述.

例4 若∠AOB=θ(0°<θ<90°),M,N是∠AOB內(nèi)兩點(diǎn)，試在邊OA,OB上各找一點(diǎn)P，Q，使得折線APQB最短.

從上面幾題的解答中，容易看出能否“化直”是解題的關(guān)鍵，但有時(shí)怎樣“化直”是要?jiǎng)右环X筋的.

圖 5例5 如圖5，在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)距離之差最大.

解析 與將軍飲馬問題相比較，不同之處在于兩定點(diǎn)位于

定直線的兩側(cè)，并且是求距離差，因此需先作出距離差，而后再去求它的最大值，進(jìn)而確定P點(diǎn)的位置.為此，可先作點(diǎn)B關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)B′(3,3)，直線AB′與直線l的交點(diǎn)即是所求的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為(2,5).為什么這個(gè)點(diǎn)符合題中的要求呢？乃因?yàn)榘巡睢盎酥薄?事實(shí)上，倘若不是P點(diǎn)而是圖中的D點(diǎn)，那么就有﹟DB-狣A|=|DB′-DA|

有時(shí)候?qū)Α盎薄钡膶?duì)象需進(jìn)行深入推敲，所選對(duì)象準(zhǔn)確對(duì)于問題解決是至關(guān)重要的.

例6 求函數(shù)y=(x-1)2+4+(x-3)2+9的最小值.

解析 本題采用代數(shù)的方法去求解運(yùn)算會(huì)很麻煩，而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去求解就十分便捷.可把(x-1)2+4看成點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(1,2)的距離，又可把(x-3)2+9看成點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(3,3)的距離，故問題轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點(diǎn)，使其到點(diǎn)(1,2)及點(diǎn)(3,3)的距離和最小，這就是將軍飲馬問題，數(shù)形結(jié)合的結(jié)果為實(shí)施“化折為直”創(chuàng)造了條件.由兩點(diǎn)間直線距離最短知，點(diǎn)(1,-2)和點(diǎn)(3,3)的距離就是函數(shù)y=(x-1)2+4+(x-3)2+9的最小值，最小值為29.

最后，筆者在這里還要指出，兩個(gè)物理模型應(yīng)引起我們足夠的重視，一是光的反射，二是物體的反彈.光的反射和運(yùn)動(dòng)物體的反彈都是可運(yùn)用“化折為直”數(shù)學(xué)思想方法求解的問題.