一個(gè)問題,別樣風(fēng)景

羅樹鋒

教育是門遺憾的藝術(shù)，教育有法，教無定法，需要因人而異，隨機(jī)應(yīng)變.教育更像藝術(shù)，藝術(shù)也有法則，但不拘泥于法則，更多的是創(chuàng)造.隨著教學(xué)改革的不斷深入，教學(xué)理念的不斷更新，課堂教學(xué)的有效性討論也在各地如火如荼地展開，怎么樣的課是好課，怎么樣的課能更好地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種本原意識(shí)，筆者嘗試淺析寧波市教壇新秀評(píng)比給出的其中一個(gè)課題是評(píng)析“2011年浙江省會(huì)考第41題”的兩個(gè)同課異構(gòu)案例，供同行探討.

一、一種問題

（2011年浙江省會(huì)考第41題）

圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3.

（1） 求圓C的方程；

（2） 過點(diǎn)M任作一直線與圓O：x2+y2=4相交于兩點(diǎn)A,B，連接AN,BN，求證：∠ANM=∠BNM.

二、兩種風(fēng)景

課例一

1.新課導(dǎo)入

在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足PA[]PB=λ，當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱作阿波羅尼斯圓.這個(gè)結(jié)論稱作阿波羅尼斯軌跡定理.

介紹：阿波羅尼奧斯(獳pollonius of Perga)，約公元前262年生于佩爾格,約公元前190年卒，數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.

2.強(qiáng)化概念

例1 已知A(1,0)，B(4,0)，點(diǎn)P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足2|AP|=|BP|，求點(diǎn)P的軌跡方程.

3.課題呈現(xiàn)

圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3.

（1） 求圓C的方程；

（2） 過點(diǎn)M任作一直線與圓O：x2+y2=4相交于兩點(diǎn)A,B，連接AN,BN，求證：∠ANM=∠BNM.

4.真題再現(xiàn)

例2 （2003年北京春季高考卷）設(shè)A(-c,0)，B(c,0)(c>0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離的比為定值a(a>0)，求點(diǎn)P的軌跡.

例3 （2008年高考數(shù)學(xué)江蘇卷）滿足條件AB=2，〢C=2BC的△ABC的面積的最大值是.

例4 （2006年高考數(shù)學(xué)四川卷）已知兩定點(diǎn)A(-2,0)，B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于（）.

A.πB.4πC.8πD.9π

5.課堂小結(jié)

阿波羅尼斯圓在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，在高考題中也有不少應(yīng)用，接下來請同學(xué)們小結(jié)一下本節(jié)課學(xué)過的知識(shí)和方法.

課例二

1.提出問題，引入課題

圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3.

（1） 求圓C的方程；

（2） 過點(diǎn)M任作一直線與圓O：x2+y2=4相交于兩點(diǎn)A,B，連接AN，BN,求證：∠ANM=∠BNM.

2.化整為零，層層深入

探究1：求解圓方程.

探究2：圓上兩定點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

例1 圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3，求圓C的方程.

例2 已知點(diǎn)M(1,0)，N(4,0),圓x2+y2=4，過點(diǎn)M任作一直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，連接AN,BN，探究∠ANM與∠BNM會(huì)有什么關(guān)系呢？

探究3：通過兩個(gè)角是直線AN、直線BN與x軸的夾角，聯(lián)想其關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩斜率之間的關(guān)系，達(dá)到形到數(shù)的轉(zhuǎn)化（∠ANM=∠NBM趉〢N+k〣N=0）.

探究4：利用角平分線定理的逆用，拓展思路，∠ANM=∠NBM趞AM|[]|BM|=|AN|[]|BN|，為引出阿波羅尼斯圓作準(zhǔn)備.

探究5：深入挖掘題目，引出阿波羅尼斯圓，拓展知識(shí)面，由阿波羅尼斯圓的定義為后繼的圓錐曲線定義引出領(lǐng)路.“圓”來如此.

探究6：在本題中，若當(dāng)點(diǎn)N為x軸上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，∠ANM=∠BNM是否還成立？

3.課后小結(jié)：學(xué)生談在本節(jié)課中的收獲.

三、三點(diǎn)比較

本題雖然是一個(gè)會(huì)考題，但是難度不小，學(xué)生在處理此類問題時(shí)思路常常會(huì)受阻，兩節(jié)課在處理問題上有較大的不同，主要有三大方面：

第一個(gè)不同：課例1用“阿波羅尼斯圓”定義作為導(dǎo)入，對(duì)學(xué)生來說，全新的數(shù)學(xué)概念，特別是一個(gè)新奇的數(shù)學(xué)家的名字所激發(fā)的興趣是非常大的.而課例2直接給出課題，開門見山，學(xué)生在常態(tài)的課例中發(fā)現(xiàn)了亟待解決的問題，這個(gè)問題來源于課題的“難”，應(yīng)當(dāng)說，利用刺激性的課題引入也不失為一種好方法.

第二個(gè)不同：課例1重點(diǎn)在“阿波羅尼斯圓”的落實(shí)上，從定義的給出到強(qiáng)化定義再到定義的應(yīng)用，引出了本節(jié)課要重點(diǎn)解決的課題.課例2將課題層層剝開，化整為零，分解出小問進(jìn)行問題的處理，而“阿波羅尼斯圓”的定義引出僅僅是課題進(jìn)行中的一個(gè)意外收獲，在這里，將題中的要求分解進(jìn)行解決體現(xiàn)了一種價(jià)值理念.

第三個(gè)不同：課例1的強(qiáng)化落實(shí)是圍繞“阿波羅尼斯圓”層層展開，進(jìn)一步理解和掌握“阿波羅尼斯圓”.而課例2的強(qiáng)化落實(shí)是通過探究動(dòng)點(diǎn)問題來將原課題引到更深的層次，體現(xiàn)了生成性的教學(xué)過程，實(shí)現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念.

四、四點(diǎn)反思

本次“同課異構(gòu)”的活動(dòng)，通過同行們的討論和探討，有如下反思，供大家參考：

反思一：教學(xué)設(shè)計(jì)是為了追求高效率、高質(zhì)量的課堂教學(xué)，備課前的準(zhǔn)備工作也是必不可少的，可以閱讀一些參考資料和同行的教學(xué)案例，而網(wǎng)絡(luò)上涉及課題中相關(guān)問題的知識(shí)也很多，但同時(shí)，教師也應(yīng)當(dāng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)靥暨x，并經(jīng)過詳細(xì)地改編以期在課堂的呈現(xiàn)中表現(xiàn)出自然的一面，而不是很突兀的感覺.

反思二：怎樣準(zhǔn)備課.其實(shí)，教學(xué)的過程和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程應(yīng)當(dāng)是極為相似的，所以，在課堂準(zhǔn)備活動(dòng)前了解學(xué)生，從學(xué)生的角度出發(fā)進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備應(yīng)當(dāng)是比較有效的一種方法.

反思三：解析幾何不是單一的幾何問題代數(shù)化，而應(yīng)當(dāng)將幾何問題和代數(shù)方法有機(jī)地結(jié)合在一起，應(yīng)著重于學(xué)生思維層次的培養(yǎng)上面.所謂知其然更應(yīng)當(dāng)知其所以然，教會(huì)學(xué)生解決問題的辦法從而達(dá)到一通百通的目的.

反思四：怎么樣的課是好課.好課是沒有標(biāo)準(zhǔn)的，但是基本上應(yīng)當(dāng)有以下幾個(gè)要求：有意義，有效率，看生成性，看常態(tài)性，是否具有可完善性.從這五個(gè)基本點(diǎn)出發(fā)可能對(duì)我們的課堂教學(xué)的改進(jìn)會(huì)有些積極的作用.

課無完課，教無定法，所以，不斷從課例的對(duì)比中找出其閃光點(diǎn)，找到適宜的教學(xué)方法，讓教師的教學(xué)設(shè)計(jì)思維在碰撞中產(chǎn)生火光，這也是提高教師教學(xué)專業(yè)水平的一種行之有效的方法.

【參考文獻(xiàn)】

ダ紫莉.新課引入的教學(xué)研究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2011年3月.