高三導數(shù)復習的幾點想法

朱加俊

導數(shù)問題是高中數(shù)學的一個重要組成部分，近幾年各省市的高考中，導數(shù)成為一個必考內(nèi)容，占到總分值的10%左右.從難易程度看，各省市高考中，填空題以中檔為主，而解答題處于壓軸題的位置，綜合性較強，難度也比較大.

江蘇“課程標準”中對導數(shù)部分的要求是：一、了解導數(shù)的概念及幾何意義；二、理解導數(shù)的定義，了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間及判定函數(shù)的單調(diào)性等；三、導數(shù)在實際生活中的應用.根據(jù)課程標準要求及本人在教學中了解的學生的學習情況，提出在復習過程中的幾點想法：

一、注重導數(shù)的幾何意義

導數(shù)的幾何意義是高考涉及導數(shù)知識時經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點在于對其幾何意義的正確理解.

例1 （2008江蘇8）直線y=1[]2x+b是曲線y=玪n玿(x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝.

解析 求曲線的切線（包括給出的點在或不在已知曲線上兩類情況）為主要內(nèi)容，求切線方程的難點在于分清“過點(x0,y0)的切線”與“點(x0,y0)處的切線”的差異.突破這個難點的關(guān)鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里：在過點(x0,y0)的切線中，點(x0,y0)不一定是切點，點(x0,y0)也不一定不在切線上；而點(x0,y0)處的切線，必以點(x0,y0)為切點，則此時切線的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切線方程的常見方法有：①數(shù)形結(jié)合.②將直線方程代入曲線方程利用判別式.③利用導數(shù)的幾何意義.

二、強化導數(shù)的基本運算及簡單應用

導數(shù)的基本運算是導數(shù)應用（單調(diào)性、極值、最值）的基礎(chǔ)，是高考重點考查的對象，考查的方式以填空題為主.

例2 （2009江蘇3）函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間為.

解析 對于導數(shù)的復習，應該立足基礎(chǔ)知識和基本方法，應注意以下幾點：

（1）在求導過程中要緊扣求導法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導公式，對于不具備求導法則結(jié)構(gòu)形式的要注意適當恒等變形.（2）用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值時要特別注意函數(shù)的定義域，因為一個函數(shù)的導數(shù)的定義域可能和這個函數(shù)的定義域不相同.（3）近年高考中經(jīng)常出現(xiàn)以三次函數(shù)為背景的問題，復習中應加以重視.

三、加強利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問題的研究

運用導數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)是歷年高考的熱點問題.高考試題常以解答題形式出現(xiàn)，主要考查利用導數(shù)為工具解決函數(shù)、方程及不等式有關(guān)的綜合問題，題目較難.

例3 （2011江蘇19）已知a，b是實數(shù)，函數(shù)f(x)=﹛3+猘x,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分別是f(x),g(x)的導函數(shù)，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)性一致.

（1）設(shè)a>0，若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間［-1,+∞)上單調(diào)性一致,求實數(shù)b的取值范圍；

（2）設(shè)a<0且a≠b，若函數(shù)f(x)和g(x)在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值.

解析 這類問題常常涉及求函數(shù)解析式、求參數(shù)值或取值范圍問題.解決極值、極值點問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為解不等式的問題，有時須要借助于方程的理論來解決，從而達到考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學思想.

四、運用導數(shù)解決實際問題

近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，因此要學會應用導數(shù)解決有關(guān)最優(yōu)化的問題及即時速度、邊際成本等問題，學生要有運用導數(shù)知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力.實際應用問題的考查將是高考的又一熱點.

例4 （2010江蘇）將邊長為1 玬的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=(梯形的周長）2[]梯形的面積,則S的最小值是.

解析 解決實際應用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學問題，再化歸為常規(guī)問題，選擇合適的教學方法求解（尤其要注意使用導數(shù)解決最優(yōu)化的問題）.

通過以上考點回顧和熱點分析，我們在導數(shù)的復習備考中須要注意以下幾個問題：

1.要把導數(shù)的復習放在函數(shù)大背景下來復習.同時注意定義域優(yōu)先、函數(shù)方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、恒不等式問題常見處理方法，等等.

2.要用好導數(shù)工具.要對已知函數(shù)進行正確求導，特別注意的是分式、對數(shù)式、復合函數(shù)的求導，一定要對求導的結(jié)果進行演算之后再進行下一步的運算.

3.要重視常見初等函數(shù)性質(zhì)的研究，特別是二次函數(shù).一個問題利用導數(shù)求解之后，一定轉(zhuǎn)化為常見的初等函數(shù)，求導之后的函數(shù)以二次函數(shù)型居多，要不也是局部是二次型，其他部分的因式符號是固定的，所以要研究好常見如二次函數(shù)、類反比例反數(shù)、對號函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)，為導數(shù)題的深化解題奠定基礎(chǔ).

4.拓展導數(shù)應用的范圍.例如求曲線的切線拓展到求圓錐曲線的切線，在用導數(shù)求圓錐曲線切線時，要注意將方程轉(zhuǎn)化為兩個分段函數(shù)的形式.通常近幾年涉及這樣的問題以二次函數(shù)型拋物線方程居多.