連續(xù)兩次相差為同一常數(shù)的規(guī)律題求法

韋政雄

在解有關(guān)規(guī)律性的問題時，我們有時發(fā)現(xiàn)在一列數(shù)據(jù)中，兩個相鄰的數(shù)求差后，再對相鄰新數(shù)求差，這時它們?yōu)橥怀?shù).在這里稱之為連續(xù)兩次作差為同一常數(shù).遇到此類問題，關(guān)鍵是求規(guī)律中的表達(dá)式，那怎么求呢？本文就該問題進(jìn)行研究和探討，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

例1：觀察下圖，解答問題.

（1）上圖畫出了三到六邊形的對角線，觀察后將下表填寫完整.

（2）若一個多邊形的內(nèi)角和為1440°，求這個多邊形的對角線條數(shù).

分析與解:

解法1：（1）易知，六邊形的對角線條數(shù)為9.通過作圖也易知七邊形的對角線條數(shù)為14，那么n邊形呢？

現(xiàn)將多邊形邊數(shù)與對角線條數(shù)提取進(jìn)行分析：

邊數(shù) 對角線條數(shù)分析及梯形面積公式法表達(dá)式

觀察上表發(fā)現(xiàn)，將相鄰對角線條數(shù)兩數(shù)作差，再對作差后的相鄰新數(shù)作差，它們的結(jié)果都為常數(shù)1.當(dāng)設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，對角線條數(shù)寫成和的形式時，第一個數(shù)是2，最后一個數(shù)是1×n-2，共有（n-3）項，用梯形面積公式法求得n邊形對角線條數(shù)為：

×（n-3）=（n-3）

（2）由n邊形內(nèi)角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.

∴這個多邊形的對角線條數(shù)為：×（8-3）=20（條）.

解法2：（只對n邊形的對角線條數(shù)進(jìn)行探究）

現(xiàn)先對二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.對于二次函數(shù)y=x+2x+2，有下表成立：

對y相鄰的數(shù)求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…

對相鄰新數(shù)再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…

發(fā)現(xiàn)的值連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)，再對其他的二次函數(shù)研究也有這樣的結(jié)論，因此可以得出二次函數(shù)存在這樣一個性質(zhì)：二次函數(shù)的函數(shù)值連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)；反過來，如果一數(shù)列存在著：連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)，它的序數(shù)與所對應(yīng)的數(shù)的表達(dá)式滿足某個二次函數(shù).利用這個性質(zhì)，求本例n邊形的對角線條數(shù)：

由解法1中的（1）可知，對角線條數(shù)相鄰兩數(shù)作差，再對作差后的新數(shù)作差，它們的結(jié)果都為同一常數(shù)，所以多邊形邊數(shù)及所對應(yīng)的對角線條數(shù)滿足某個二次函數(shù).設(shè)這個二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對多邊形邊數(shù)x及所對應(yīng)的對角線條數(shù)y取出三對數(shù)：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以多邊形邊數(shù)x及所對應(yīng)的對角線條數(shù)y滿足二次函數(shù):y=x-x，

當(dāng)x=n時，有y=n-n=n（n-3），

∴七邊形對角線條數(shù)為：×（7-3）=14（條）.

例2：瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)，，，，…中得到巴爾末公式，從而打開了光譜的奧妙大門，請你按這個規(guī)律寫出第七個數(shù)據(jù)是?搖 ?搖.

分析與解:

解法1：分子中第1個數(shù):9=3；第2個數(shù):16=4；第3個數(shù):25=5；第4個數(shù):36=6，

∴第n個數(shù)分子應(yīng)該是（n+2）.

分母中：序數(shù) 分母對應(yīng)數(shù)分析及梯形面積公式法表達(dá)式

分母中的數(shù)兩次連續(xù)作差后為同一常數(shù)2，進(jìn)一步分析可知，當(dāng)設(shè)序數(shù)為n，分母對應(yīng)的數(shù)寫成和的形式時，第一個數(shù)是5，最后一個數(shù)是2×n+3，共有n項，用梯形面積公式法求得第n個數(shù)分母為：

×n=n（n+4）

∴第n個數(shù)為：

當(dāng)n=7時，所對應(yīng)的數(shù)是=.

解法2：（只對分母存在的規(guī)律進(jìn)行探究）

由解法1知，分母中的數(shù)兩次連續(xù)作差后為同一常數(shù)，所以分母中的序數(shù)及所對應(yīng)的值滿足某個二次函數(shù).設(shè)此二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對分母中的序數(shù)x及所對應(yīng)的值y取出三對數(shù)：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.

所以分母中的序數(shù)x及所對應(yīng)的值y滿足二次函數(shù):y=x+4x，

∴第七個數(shù)的分母為：y=x+4x=7+4×7=77.

由例1和例2的解法2可知，當(dāng)一數(shù)列連續(xù)兩次作差后為同一常數(shù)，數(shù)列序數(shù)與對應(yīng)的數(shù)滿足某個二次函數(shù)的表達(dá)式，利用待定系數(shù)法，解出來的二次函數(shù)常數(shù)項都為0，是不是所有滿足這種情況的二次函數(shù)的常數(shù)項都為0呢？請看例3.

例3:（2009牡丹江市）有一列數(shù)：-，，-，，…那么第7個數(shù)是?搖?搖.

分析與解:

解法1：易知，數(shù)列符號，單序數(shù)為負(fù)，雙序數(shù)為正，分子按序數(shù)排列，關(guān)鍵的就是找分母的表達(dá)式.現(xiàn)將分母序數(shù)及所對應(yīng)的數(shù)提取進(jìn)行分析：

序數(shù)分母對應(yīng)數(shù)分析及梯形面積公式法表達(dá)式

分析發(fā)現(xiàn)，分母所對應(yīng)的數(shù)兩次連續(xù)作差后，為同常數(shù)2.可以預(yù)測，除符號和2外，第n個數(shù)，當(dāng)寫成和的形式時，第一個數(shù)是3，最后一個數(shù)是2×n-1，共有（n-1）項.

∴第n個數(shù)除符號外，分母為:2+×（n-1）=n+1

∴第n個數(shù)為:（-1）

∴第7個數(shù)為:（-1）=-.

解法2：（只對分母存在的規(guī)律進(jìn)行研究）

由解法1知，分母所對應(yīng)的數(shù)連續(xù)兩次作差后，為一同常數(shù)2，所以分母中的序數(shù)及所對應(yīng)的值滿足某個二次函數(shù).設(shè)這個二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對分母中的序數(shù)x及所對應(yīng)的值y取出三對數(shù)：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.

所以分母中的序數(shù)x及所對應(yīng)的值y滿足二次函數(shù):y=x+1，

∴第七個數(shù)的分母為：y=x+1=7+1=50.

由上三例可知，如果一數(shù)列存在著：連續(xù)兩次作差為同一常數(shù)，它的序數(shù)與所對應(yīng)的數(shù)的表達(dá)式滿足某個二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法，解出來的二次函數(shù)常數(shù)項不一定為0.

例4:如圖，△ABC中邊BC上有n個點(diǎn)，每個點(diǎn)都與A連接，共有多少個三角形？

分析與解：用列舉法進(jìn)行探究.在BC上：有3個點(diǎn)（即B、D、C）時，有△ABD、△ABC、△ADC共3個三角形；

有4個點(diǎn)（即B、D、E、C）時，有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC共6個三角形；

有5個點(diǎn)（即B、D、E、F、C）時，有△ABD、△ABE、△ABF、△ABC、△ADE、△ADF、△ADC、△AEF、△AEC、△AFC共10個三角形；

例4題圖

按同樣方法列舉，可知，當(dāng)BC上有6個點(diǎn)時，共有15個三角形.

進(jìn)一步分析還發(fā)現(xiàn)，這些三角形個數(shù)兩次連續(xù)作差后，為同常數(shù)1.

即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…

再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…

利用本文的二次函數(shù)一性質(zhì)進(jìn)行求解，設(shè)這個二次函數(shù)為y=ax+bx+c，對BC上的點(diǎn)數(shù)x及所對應(yīng)的三角形個數(shù)y取出三對數(shù)：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以分母中的序數(shù)x及所對應(yīng)的值y滿足二次函數(shù):y=x-x.

當(dāng)x=n時，有y=n-n=n（n-1），

即△ABC中邊BC上有n個點(diǎn)，每個點(diǎn)都與A連接，共有（n-1）個三角形.

利用梯形面積公式法解決本例也很捷徑，請讀者自行完成.

綜上所述，當(dāng)一列數(shù)，只要兩次連續(xù)作差后為同一常數(shù)，它的表達(dá)式除觀察利用綜合知識解決外，還有兩種方法較為捷徑：

1.它的某一項都可以寫成有規(guī)律數(shù)的和的形式.當(dāng)兩次作差為同常數(shù)1時，和的最后一項是與1的倍數(shù)有關(guān)（如例1、例4）;當(dāng)兩次作差為同常數(shù)2時，和的最后一項是與2的倍數(shù)有關(guān)（如例2、例3）;……然后再求項數(shù)，代入梯形面積公式法：

M=（a+b）h

（其中，M表第b項的數(shù)，a表第1項，b表最后一項，h表從a到b共有項數(shù)）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，再進(jìn)一步化簡，就可得到其表達(dá)式.

2.它的表達(dá)式滿足某個二次函數(shù)，設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=ax+bx+c，對序數(shù)x及所對應(yīng)的值y取出三對數(shù)：（x，y），（x，y），（x，y），利用待定系數(shù)法求出a，b，c，又返回代入y=ax+bx+c，就可得到其表達(dá)式.