電磁場的基本方程及其定解條件

肖 峻，楊洪平

(電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院，四川成都 610054)

在“電磁場與電磁波”課程中，麥克斯韋方程組是電磁場的基本方程，描述了宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律。但是，對于具體的電磁問題，基本方程還需要結(jié)合定解條件才能給出問題的解。如果對定解條件的要求不當(dāng)，有可能因?yàn)闂l件太苛刻而無解，也有可能因?yàn)闂l件太寬松出現(xiàn)多個不確定的解。給出恰當(dāng)?shù)亩ń鈼l件以便麥克斯韋方程組有解且唯一這對麥克斯韋方程組的成功應(yīng)用是至關(guān)重要的。

亥姆霍茲定理給出了確定任一矢量場的唯一性條件，是分析矢量場的基礎(chǔ)。電磁場作為一種特定的矢量場理應(yīng)遵循矢量場的普遍規(guī)律。本文以亥姆霍茲定理為指導(dǎo)，可給出了電磁場基本方程的組成，再結(jié)合時變電磁場和靜態(tài)電磁場的特性給出電磁場基本方程的定解條件。所得結(jié)論為各種電磁場問題求解方法提供了依據(jù)，也為解的正確性提供了判據(jù)，對于處理各種電磁問題具有非常重要的指導(dǎo)意義。

1 矢量場的邊值問題

圖1所示的亥姆霍茲定理，給出了確定任一矢量場的唯一性條件［1］:在閉合面S限定的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由在區(qū)域V內(nèi)矢量場的散度和旋度以及閉合面S上矢量場的分布唯一地確定。而且，任一矢量場可表示為

在式(2)和式(3)中，r為場點(diǎn)位置矢量，r'為源點(diǎn)位置矢量，en為閉合面S上的外法向單位矢量。

圖1 亥姆霍茲定理示意圖

在式(1)中的第一項(xiàng)為無旋度的矢量場，第二項(xiàng)為無散度的矢量場。即任一矢量場可表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加。

矢量場的散度和旋度各對應(yīng)矢量場的一種源，式(2)和式(3)中的體積分項(xiàng)由V內(nèi)的兩種體分布的場源(散度源和旋度源)確定。而式(2)和式(3)中的面積分項(xiàng)由S上的兩種面分布的場源(標(biāo)量源和矢量源)或者由V外的場源對V內(nèi)矢量場的作用的等效面分布場源確定。

對于無界空間，式(2)和式(3)中兩面積分項(xiàng)為零。無旋度的矢量場是由標(biāo)量源產(chǎn)生，而無散度的矢量場是由矢量源產(chǎn)生。無旋度且無散度的矢量場只能存在于局部的無源區(qū)域之中，完全由邊界S上的場分布確定。

由亥姆霍茲定理可知:在有界空間內(nèi)任一矢量場F(r)的定解可表示為邊值問題:

式中，g和K為V內(nèi)分布的散度源和旋度源，gS和KS為S上分布的標(biāo)量源和矢量源。式(4)中前兩方程為矢量場的基本方程(泛定方程)，后兩方程為基本方程的定解條件。

在無界空間，當(dāng)場源分布在有限空間，不存在邊界源，矢量場F(r)的定解問題表示為

可見，矢量場的散度方程和旋度方程組成了確定矢量場分布的基本方程(微分形式)，是分析矢量場性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)。利用場論中的高斯定理和斯托克斯定理，由這微分形式的基本方程可以導(dǎo)出積分形式的基本方程。

2 時變電磁場的定解問題

對于時變電磁場，電場與磁場這兩種矢量場相互耦合，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場。根據(jù)亥姆霍茲定理可知，電磁場的基本方程由電場量E(r，t)的散度方程和旋度方程，磁場量H(r，t)的散度方程和旋度方程構(gòu)成。微分形式麥克斯韋方程組正是給出了這四個方程。在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)空間，限定形式的麥克斯韋方程組為

式中，ε和μ為媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，ρ(r，t)和J(r，t)為自由電荷密度和傳導(dǎo)電流密度。

上式是確定電磁場時空分布的基本方程。然而，由于時變電場與時變磁場的相互耦合，上式中四個方程并非完全獨(dú)立。由上式中兩旋度方程結(jié)合電流連續(xù)方程，可導(dǎo)出上式中的兩散度方程［2］。

在有界空間，式(6)的定解條件包括初始條件和邊界條件。

初始條件為

同樣，由于電場與磁場的相互耦合，這四個邊界條件不獨(dú)立。分析式(6)中兩旋度方程可知，在電場的三個正交分量和磁場的三個正交分量中，只有兩個分量是獨(dú)立的。只須任意給定其中兩個分量的分布，其他四個分量完全由這兩個分量確定，波導(dǎo)系統(tǒng)中采用的縱向場分析法正是基于這一特性［3］。因此，只須給定邊界S上含有兩個分量的電場切向分量Et(r，t)或者磁場切向分量Ht(r，t)即可定解。這樣，上式的邊界條件可減弱為

滿足式(8)的解會自然滿足邊界上電場和磁場的法向分量的邊界條件。

綜上所述，當(dāng)給定V內(nèi) ρ(r，t)、J(r，t)、E0(r)，H0(r)和S上的 Et(r，t)或 Ht(r，t)，V內(nèi)式(6)的解E(r，t)和H(r，t)是唯一的。這一結(jié)論正是時變電磁場唯一性定理所述的內(nèi)容，其嚴(yán)格證明可參見文獻(xiàn)［4］。式(6)、式(7)和式(9)構(gòu)成了時變電磁場的定解問題。

3 靜態(tài)電磁場的定解問題

靜態(tài)電磁場可視為時變電磁場的特例。對于靜態(tài)電場和恒定磁場，由于式(6)中場量(電場量和磁場量)以及源量(自由電荷密度和傳導(dǎo)電流密度)都不隨時間變化，定解問題中自然不存在初始條件，而且式(6)可分離為電場與磁場獨(dú)立的基本方程組。同樣，根據(jù)按亥姆霍茲定理，可得知靜電場與恒定磁場的邊值問題為

利用靜電場的無旋性可知，由任意給定電場的一個分量的分布可確定其他兩個分量，式(9)中的邊界條件只須給定電場的法向分量即可，因此，靜電場的定解問題可表示為

另一方面，直接由亥姆霍茲定理的式(2)也可得知無旋度的靜電場的定解問題為上式。

利用恒定磁場的無散性可知，由任意給定磁場的兩個分量的分布可確定其他一個分量，式(10)邊界條件中，只須給定磁場的切向分量即可。因此，恒定磁場的定解問題可表示為

直接由亥姆霍茲定理中的式(3)也可得知無散度的恒定磁場的定解問題為上式。

4 結(jié)語

亥姆霍茲定理是分析矢量場的基礎(chǔ)，由亥姆霍茲定理可得知矢量場的散度方程和旋度方程是分析矢量場的基本方程。對于電磁場這一特殊的矢量場，其基本方程仍然是按亥姆霍茲定理要求組成，但是，由于時變電磁場和靜態(tài)電磁場的特性，其邊界條件較亥姆霍茲定理所要求的邊界條件有所減弱。

對于時變電磁場，由于電場與磁場的相互耦合，邊界條件只須給定電場的切向分量或者磁場的切向分量。對于靜電場，由于其無旋性，邊界條件只須給定電場的法向分量。對于恒定磁場，由于其無散性，邊界條件只須給定磁場的切向分量。本文所得這些結(jié)論，對求解電磁場的各種邊值問題具有重要的指導(dǎo)意義。

［1］毛均杰，何建國.電磁場理論［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，1998:24-27

［2］俎棟林.電動力學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2006:112-117

［3］楊儒貴.電磁場與電磁波［M］.北京:高等教育出版社，2003:228-231

［4］謝處方、饒克謹(jǐn)、楊顯清.電磁場與電磁波［M］.第四版.北京:高等教育出版社，20