《常微分方程》精品課程的教學改革與教學實踐*

韓祥臨 ， 歐陽成

(湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州 313000)

《常微分方程》是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)和信息與計算科學專業(yè)的核心基礎課。它既是數(shù)學分析的延續(xù)，又是泛函分析、偏微分方程和微分幾何的基礎。同時，它也是經(jīng)濟類和工程類專業(yè)的必修課之一。常微分方程的重要性在于它是自然科學和社會科學中精確表述基本定律和各種問題根本工具之一，只要根據(jù)實際背景列出微分方程，并能(數(shù)值地或定性地)求出方程的解，人們就能預見事情的變化情況。于是，微分方程成為人們認識、改造自然和社會的有力工具，也是數(shù)學聯(lián)系實際的主要途徑之一。因此，微分方程對本科數(shù)學的重要性就顯而易見了。湖州師范學院“常微分方程”精品課程是國家特色專業(yè)(數(shù)學與應用數(shù)學)下的專業(yè)主干課程，課程組十分重視課程的建設工作。這里，結合從事微分方程教學的經(jīng)驗和實踐，談談常微分方程課程改革的思路與實踐。

1 科學提煉課程教學模式

微分方程是一門基礎課，教材[1]中的內(nèi)容大多是一些以理論分析和理論推導為主的純數(shù)學知識，但是，如果因此就把微分方程看成是一門只講基礎知識和方程解法的純理論性課程，教學效果就比較差。微分方程有兩個“端點”，一個端點是實際背景，另一個端點是實際應用。離開了這兩個端點，微分方程就成了無水之源，無本之本。因此，要結合新的教學實際，特別是高教大發(fā)展的具體情況，努力改革教學模式，不斷提高教學質(zhì)量。堅持做到：保持基礎性、增加現(xiàn)代性、拓展應用性、培養(yǎng)創(chuàng)新性。筆者提出“基礎+提高+應用+研究”四位一體的教學模式。

“基礎”：指抓好基本理論和基本技能(解題技巧)的教學工作，理論教學必須有一定的高度和深度。這一部分以課堂教學為主。

“提高”：包括三個方面。一是習題課教學，通過習題課來消化理解并加深理論知識和基本機能，從而達到提升理論水平的效果。二是課外答疑(含網(wǎng)絡答疑和面對面答疑)。針對不同的個體，將答疑制度化，通過答疑輔導，來掃除學生學習中的障礙。三是抓好兩頭，促進中間。就不同層次進行分類指導，特別是要給學習成績比較突出的同學留出學習空間，而給學習相對薄弱的同學及時補習，達到共同提高的目的。

“應用”：指盡可能在每一部分的引入中，以切實可行的實際問題為背景引導出所需要的微分方程，讓學生親身體會方程的來源。同時，結合數(shù)學建模，在教學過程中適當加入模型分析，利用教學軟件，進行數(shù)值模擬。一方面可以提高學生的學習興趣，避免枯燥地講授理論和繁雜的數(shù)學計算；另一方面還可以通過應用加深對理論知識的理解。

“研究”：對學有余力的同學，組織學生的學術研討班，邀情有學術造詣的老師作指導，選擇合適的課題，進行學術研討，開展大學生科研立項，撰寫學術小論文，進而充分發(fā)揮學生的潛能和優(yōu)勢，調(diào)動學生的學習積極性，提高教學的質(zhì)量和層次。湖州師范學院數(shù)學系就組織了“微分方程奇異攝動理論”的學術研討論，學生參與的積極性十分高，每三周進行一次集中研討，以老師指導和學生自學為主，老師報告與學生報告相結合，每位參與者都寫出了小論文。同時，以此為基礎，學生的畢業(yè)論文質(zhì)量明顯提高，參加討論班的同學論文優(yōu)秀率達到80 %。

2 合理整合教學內(nèi)容

課本中只有教學的基本內(nèi)容，教師可根據(jù)學生的實際情況和教學大綱的要求，特別是按照課程教學模式的要求，對教學內(nèi)容進行合理安排。以王高雄等主編《常微分方程》(高等教育出版社)為例。

首先，在吃透教材的基礎上，對教材的基本內(nèi)容進行適當處理。例如，對第三章一階微分方程的解的存在定理中的部分定理(如解對初值的連續(xù)性和可微性定理)只介紹定性的條件與結論，不作證明。因為一方面在新的形勢下，課時比較緊，一般的院校只有周課時3節(jié)；另一方面，對普通本科院校特別是師范院校而言，除數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)外，其它專業(yè)的學生對這些定理的證明在學習上有一定的難度，教學效果很差。再如可以先講第五章微分方程組再講第四章高階微分方程，把高階微分方程看作微分方程組的特殊。這樣，第四章的許多公式和定理就不必再證明了，于是節(jié)省了很多課時。

其次，要結合教學模式的設計，合理安排教學模塊。(一)理論模塊。這些理論除了第三章一階微分方程的存在定理、第四章線性方程的解的結構理論、第五章線性方程組的解的結構理論以及第六章解的穩(wěn)定性理論外，有些理論是分散在各章的，應注意及時整理總結。(二)解方程模塊。這是理論模塊的落腳點之一，其內(nèi)容分散在各章中，類型多，內(nèi)容雜，要及時歸類，并加強訓練。(三)應用模塊。除在每章或某一節(jié)的引入中通過實際問題建立模型外，要適當補充數(shù)學建模的內(nèi)容，結合Matlab軟件或Mathematica軟件來求解一些方程的解。如捕魚問題、技術革命問題、單擺問題、二體問題、綜合國力問題和生物種群問題等，可向?qū)W生講清實際背景，然后列出方程，用學過的微分方程知識進行求解，再返回到實際問題中去，來解釋某些實際現(xiàn)象。這樣，既鞏固了課堂的理論知識，降低了純理論講解的枯燥性，提高了學生的學習興趣，又極大地增強了學生的學習能力。(四)課程進展模塊[2]。要向?qū)W生講清微分方程與數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、偏微分方程和物理學的關系，例如可十分簡潔向?qū)W生介紹微分方程的局部理論能平行地搬到微分幾何中的微分流形上去。這既可以理清知識的脈絡，將數(shù)學看成一個整體來學習，又可以同高年級學習接軌。并在適當?shù)牡胤较驅(qū)W生介紹當今微分方程的學術研究進展和應用前景，使學生能從宏觀上把握微分方程的地位和作用。同時，在課堂教學的過程中，適當介紹對微分方程有重要貢獻的人物及其他們是如何解決微分方程中的某一問題的[2]，如歐拉、柯西、伯努利、皮卡、李亞普諾夫等等。以此來進一步提高學生的綜合素質(zhì)和學習興趣。

再次，要抓住微分方程的數(shù)學思想[3-5]。常微分方程的中心是解方程，但是其方程的類型很繁雜，許多同學難以把握。教師可有意識地去挖掘理論知識背后的數(shù)學思想，將理論知識進一步提煉、升華，并將許多知識有機地結合起來。以第二章“一階微分方程的初等解法”為例，教師可抓住變量分離方程和恰當方程這兩個中心，浸透化歸思想，即其它幾種類型的方程都可歸結為這兩種類型的方程。再如高次線性方程可化為線性方程組、常學高次線性方程如線性方程組可歸結為代數(shù)方程等等[6-10]。另外微分方程中還包含著方程的思想、數(shù)學模型的思想、函數(shù)的思想等等。

3 采用多樣化教學手段與教學方式

就數(shù)學教學而言，筆者贊成以“黑板+粉筆”為主的教學手段。因為數(shù)學需要一步步推演，而思維有一種“時滯”現(xiàn)象，這種推演的過程正好是學生思考理解的過程。因此，在教學中“黑板+粉筆”仍舊是無法替代的，這種教學方式靈活性強，可隨時根據(jù)學生的情況進行調(diào)整，并能增加師生的交互性，其推導的過程能吸引學生的注意力，引導學生思考。由于微分方程與實際問題的聯(lián)系比較密切，結合四位一體的教學模式，筆者采用了如下做法。

3.1 將教案做成課件

凡問題的引入、背景分析、定理和定義的表述以及例題和習題都用多媒體教學。凡定理的證明和例題講解用黑板。課件要求簡潔直觀、圖文并茂、人機交互，這樣既節(jié)省了課時，增大了信息量，又保證了教學質(zhì)量。

3.2 充分利用精品課程網(wǎng)站

有關課程的背景材料、電子教案、習題庫、章節(jié)測驗題、期末試卷庫、學生科研論文文獻，教師教學論文文獻、學術信息、網(wǎng)絡作業(yè)、網(wǎng)上答疑等等材料都在網(wǎng)上，學生可以根據(jù)網(wǎng)上材料進行自學，也可以就自己感興趣的問題展開討論。教師和學生之間打破了傳統(tǒng)的教學方式，拓展了教學空間和學習空間。

3.3 采用師生互動式教學

首先，選擇一部分比較容易的內(nèi)容，讓學生在老師指導下備課、講課。由于師范生將來要當老師，所以他們的積極性很高，上課效果很好。通過“換位”，學生對教師這一職業(yè)有了更深刻的理解，上課紀律更好了。其次，每次堂結束時，留一個思考題(有一定的難度)，在下次上課時讓學生發(fā)表不同的意見與解題思路，老師分別給予講評，并記入平時成績。通過幾個學期的試驗可以看出，這種方式吸引了絕大多數(shù)同學的注意力，學習積極性調(diào)動起來了，上課氣氛十分活躍。再次，倡導啟發(fā)教學，在學生學習的關鍵環(huán)節(jié)或遇到困難時，逐步引導，調(diào)動并發(fā)揮學生的學習主動性，開發(fā)其分析問題和解決問題的能力。

3.4 教學上注意抓好兩頭

首先，對學有余力的同學開設學術討論班。學校數(shù)學系微分方程奇異攝動理論方向有三位教授，平時教師每三周舉行一次學術討論班，師資力量比較強。根據(jù)這一情況，在學生自己報名的基礎上，開設了學生的學術研討班，以老師指導為主，學生與老師互動，并開展大學科研立項，收效很好。其次，對后進生，采取個別輔導和集中補習的方式，讓他們掌握這門課程的基本理論、基本技能和基本方法，及時趕上。這可作為教學方式的必要補充。

4 制定靈活的評價機制

評價機制是學習的向?qū)?，客觀的評價機制對于調(diào)動學生的學習積極性，挖掘?qū)W習潛能具有很強的指導作用。根據(jù)四位一體的教學模式，構建了“期末為主、重視平時、提倡應用、獎勵創(chuàng)新”的多元化、靈活性評估機制。期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績的60 %。在考核內(nèi)容上突出三點：(一)對基本概念的掌握程度，以30分填空題共15個空來體現(xiàn)。這一部分覆蓋面很廣，有一定的深刻，要求學生切實理解基本概念。(二)分析問題與解決問題的綜合能力，以20分至30分大題目來實現(xiàn)。一方面要考查學生數(shù)學的推演能力，另一方面要考查學生從實際出發(fā)，建立模型，求解問題并解釋問題的能力。(三)解方程的技巧。占40分至50分，主要考核學生求解方程的技巧和能力。

平時成績占總成績的40 %。這包括到課率占5 %，上課紀律占5 %，上課回答問題情況占5 %，作業(yè)情況占5 %，期中考試成績占15 %。

額外加分。凡主持或參加“微分方程及其應用”大學生科研立項、參加大學生數(shù)學建模競賽并獲獎、參加微分方程學術討論班和有學術論文發(fā)表的學生，根據(jù)實際情況酌情加分，加到滿分為止。同時，本專業(yè)設有創(chuàng)新獎，凡在上述幾個方面成績比較突出的學生，可以得到數(shù)學創(chuàng)新獎。以此來激勵創(chuàng)新。

5 取得的教學效果

“四位一體”教學模式被許多課程采用或借鑒。通過三年的實踐，在新的教學模式下取得了一定的成效。首先，通過全體教師的共同努力，“數(shù)學與應用數(shù)學”師范專業(yè)于2008年被評為國家特色專業(yè)，本課程作為該專業(yè)的重要課程也起到了一定的作用。該專業(yè)學生的學習風氣有很大改觀，綜合素質(zhì)明顯提高，如學生的學習積極性大大提高，上課紀律性顯著增強?！俺Ｎ⒎址匠獭北辉u為精品課程，該課程考試的通過率幾乎是百分之百。其次，師范技能有實質(zhì)性的加強，制作課件的能力和使用數(shù)學軟件的能力大大增強，學生受到杭嘉湖地區(qū)各中學的普遍歡迎，就業(yè)率比較高。再次，全國大學生數(shù)學建模成績有了新突破，如2006年獲得國家一等獎1項，二等獎2項。第四，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力明顯增強。主要表現(xiàn)在學生論文發(fā)表率、大學生科研立項、考研錄取率等方面的指標逐年提高。

參考文獻：

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