數(shù)學(xué)操作:突顯數(shù)學(xué)思考的過程

數(shù)學(xué)操作，不只限于以動(dòng)手?jǐn)[弄為主的數(shù)學(xué)學(xué)具操作（擺弄實(shí)物的操作、比劃手勢的操作），還應(yīng)包括以動(dòng)手書寫為主的數(shù)學(xué)語言操作（借助于文字、符號(hào)和圖表等數(shù)學(xué)語言進(jìn)行的畫圖、批注、列表、列舉、摘錄、寫關(guān)系式、列算式等操作），以動(dòng)口為主的數(shù)學(xué)語言操作（口頭本真表述、口頭范式表述、口頭個(gè)性化表述）等實(shí)踐活動(dòng)。借助數(shù)學(xué)操作，使學(xué)生參與建模和用模的外顯思維活動(dòng)真實(shí)地經(jīng)歷從模糊到清晰、從膚淺到深刻、從部分到整體、從封閉到開放的精致化過程，使思維過程精細(xì)到動(dòng)作化、流程化和形式化的視聽性層面，精確到可表征、可互動(dòng)、可調(diào)控的反思性層面，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)具操作、數(shù)學(xué)語言操作的有序過渡和整合提升中，自然實(shí)現(xiàn)由形象思維到表象思維再到抽象思維的提升，使思維活動(dòng)既有溫度又有梯度和深度，從而提升實(shí)踐活動(dòng)的智慧含金量，使思維能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)真正落到實(shí)處。

一、 突顯從膚淺到深刻的思維過程

數(shù)學(xué)學(xué)具操作中的比劃手勢操作、數(shù)學(xué)語言操作中的畫圖批注操作和數(shù)學(xué)語言操作中的“說話”操作，有序體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維由形象到抽象的過渡與提升。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生靈活地運(yùn)用這三種操作，對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有序的多元表征，使數(shù)學(xué)操作活動(dòng)實(shí)現(xiàn)從形象思維的感性層面向表象思維、抽象思維的理性層面飛躍，突顯從膚淺到深刻的思維過程，從而幫助學(xué)生直觀而深刻地理解數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的意義建構(gòu)。

如在教學(xué)“用分?jǐn)?shù)乘法解決實(shí)際問題”（蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)的例3）時(shí)，為了讓學(xué)生很好地理解“紅花比黃花多 ”的含義，從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，先讓學(xué)生看例3中的條形圖進(jìn)行“說話”操作——黃花、紅花和綠花各有幾份？怎樣用分?jǐn)?shù)表示其中兩種花之間的數(shù)量關(guān)系（誰是誰的幾分之幾）？；接著由“紅花是黃花的 ”自然引出：“紅花比黃花多幾份？你能將多的一份在圖中用斜線表示出來嗎？多的一份相當(dāng)于黃花的幾分之幾？誰能上臺(tái)來邊指圖邊說一說?！?之后要求其余學(xué)生也跟著邊比劃邊說一遍：紅花比黃花多的1份相當(dāng)于黃花１０份中的一份，即是 。這樣就讓學(xué)生在畫圖操作、指圖的比劃操作以及同步的說話操作中形象直觀、簡單清晰地理解了“紅花比黃花多 ”，也就是“紅花比黃花多的是黃花的 ”。

借助“畫圖、比劃、說話”這三種操作，新舊知的巧妙鏈接、分率句的直觀理解、數(shù)學(xué)思考的逐步提升都在無痕的引領(lǐng)中高效生成了，為新知的探究掃除了認(rèn)知上的障礙，突破了教學(xué)難點(diǎn)。

二、突顯從模糊到清晰的思維過程

“數(shù)學(xué)語言”指的是用于表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的語言，包括文字語言、符號(hào)語言和圖表語言等三方面。借助于文字、符號(hào)和圖表等數(shù)學(xué)語言，學(xué)生可以進(jìn)行相關(guān)的畫圖、批注、列表、列式、列舉、摘錄、寫關(guān)系式等數(shù)學(xué)化操作活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)內(nèi)隱數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的直觀可視化和具體流程化的表征，使學(xué)生的思維由模糊到清晰，從而發(fā)展學(xué)生的心智技能，增強(qiáng)解決問題的策略意識(shí)和實(shí)踐能力。

如在教學(xué)例3：黃花有50朵，紅花比黃花多 ，紅花比黃花多多少朵？師引導(dǎo)學(xué)生審題：“紅花比黃花多的朵數(shù)”指圖中的哪一部分？這一部分相當(dāng)于誰的 ?并讓學(xué)生結(jié)合條形圖，畫批出“紅花比黃花多 ”這個(gè)分率句的單位“1”，寫出 的具體含義及相應(yīng)關(guān)系式和算式。最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出解題的流程：批注，寫含義，寫關(guān)系式，列式解答。

1.批注 紅花比黃花多 。

2.含義 紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花朵數(shù)的 。

3.關(guān)系式 黃花朵數(shù)× =紅花比黃花多的朵數(shù)。

4.算式 50× =5（朵）。

5.答句 答：紅花比黃花多5朵。

此過程中，學(xué)生借助圖形語言進(jìn)一步理解了“紅花比黃花多 ”的含義，又借助畫批、寫含義、寫關(guān)系式和列算式等文字語言和符號(hào)語言的操作，進(jìn)一步加深了對(duì)概念的理解，有效避免了學(xué)習(xí)過程中的簡單機(jī)械模仿，使得數(shù)學(xué)思考變得有序、清晰而深刻，使得思維水平由直覺層面提升到理性層面。而解題流程的自然生成又很好地突顯了數(shù)學(xué)思考的程序性和循序性，為學(xué)生學(xué)會(huì)思考提供了形式化的腳手架，有效提高了學(xué)生的解題技能，為實(shí)現(xiàn)“比一個(gè)數(shù)多幾分之幾”向“比一個(gè)數(shù)少幾分之幾”的認(rèn)知遷移和進(jìn)一步學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、突顯從部分到整體的思維過程

數(shù)學(xué)語言是個(gè)體借助于數(shù)學(xué)語言接收、加工、傳遞數(shù)學(xué)信息的活動(dòng)，也是個(gè)體了解數(shù)學(xué)語言和運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思想、進(jìn)行思維的活動(dòng)，分為內(nèi)部語言和外部語言兩種。內(nèi)部語言是一種對(duì)自己發(fā)出的語言，是思考時(shí)的語言活動(dòng)。外部語言是以發(fā)音器官發(fā)出聲音的語言活動(dòng)。這里的數(shù)學(xué)語言操作主要指動(dòng)口發(fā)出聲音的外部語言活動(dòng)。借助靜態(tài)可視的數(shù)學(xué)語言與動(dòng)態(tài)可聽的數(shù)學(xué)語言間的相互轉(zhuǎn)換，可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)有意義的整體建構(gòu)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和結(jié)構(gòu)化思維能力。

如在教學(xué)例3和試一試之后，教師讓學(xué)生按照解答“例3”的前四個(gè)步驟獨(dú)立完成練一練的第1題。

生解答如下：

同時(shí)進(jìn)一步拓展：由○的個(gè)數(shù)比△多 ，我們能推想出：○的個(gè)數(shù)是△的（ ）（ ）?？梢酝ㄟ^哪些方法來加以驗(yàn)證呢？請(qǐng)同學(xué)們以4人小組為單位認(rèn)真討論一下，看哪一組想出的辦法多。

一石激起千層浪！富有挑戰(zhàn)性的問題一下子調(diào)動(dòng)起學(xué)生的思考熱情，他們使出渾身解數(shù)，想出了多種方法，有直接推想法（○的個(gè)數(shù)比△多 ，說明△有這樣的3份，○比△多1份，說明○有4份，所以○的個(gè)數(shù)是△的 ），還有畫圖法（△有6個(gè)，△△△△△△ ，○ 比△多2個(gè)，是8個(gè)○○○○○○○○，所以○的個(gè)數(shù)是△的 ）和計(jì)算法（6+2=8（個(gè)），8÷6= ），等等。

在以上教學(xué)過程中，通過變“填空題”為4個(gè)步驟的流程化解答，進(jìn)一步鞏固了相應(yīng)的解題技能，使學(xué)生的感性思維和理性思維達(dá)到了高度的和諧統(tǒng)一；通過練后的大膽猜想與多重驗(yàn)證，使學(xué)生在推想表述中充分進(jìn)行數(shù)學(xué)語言操作，在畫圖驗(yàn)證、列式驗(yàn)證和流程化的四步解答中充分地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言操作，從而使學(xué)生在相互轉(zhuǎn)換和互為驗(yàn)證的操作活動(dòng)中很好地掌握了“比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾”的本質(zhì)性內(nèi)涵，溝通了“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”與“比一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾”的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知上的整體建構(gòu)和思維上的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化，達(dá)到了化知為智的目的。

四、突顯從封閉到開放的思維過程

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。在學(xué)生借助數(shù)學(xué)操作成功經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型的建造之后，教師還要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)開放性的用模情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多層面、多方位的開放性操作活動(dòng)，使學(xué)、做、用的學(xué)習(xí)活動(dòng)融為一體，這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力，還能使學(xué)生的數(shù)學(xué)操作能力內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生成為自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)化的思維方式和認(rèn)知方式，對(duì)客觀世界進(jìn)行改造的創(chuàng)新型人才。

例如，在學(xué)生解答了“學(xué)校買了24個(gè)排球，買的足球比排球多 。買的足球比排球多多少個(gè)？學(xué)校買了24個(gè)排球，買的足球是排球的 。買了多少個(gè)足球？”（書上第44頁的對(duì)比題）之后，由排球有４份、足球就有這樣的５份，出示相應(yīng)的線段圖：

排球：

足球：

讓學(xué)生借助這樣的線段圖，先在4人小組里說出含“比”字或“是”字的分率句以及相應(yīng)的關(guān)系式，再選一種分率句及相應(yīng)關(guān)系式寫下來。

面對(duì)又一個(gè)新的挑戰(zhàn)，學(xué)生的創(chuàng)新火花再次被點(diǎn)燃，他們很快找到6種分率句及相應(yīng)的關(guān)系式：買的足球是排球的 ，排球的個(gè)數(shù)× =足球的個(gè)數(shù)；排球是足球的 ，足球的個(gè)數(shù)× =排球的個(gè)數(shù)；排球比足球少 ，足球的個(gè)數(shù)× =排球比足球少的個(gè)數(shù)；足球比排球多 ，排球的個(gè)數(shù)× =足球比排球多的個(gè)數(shù)，排球是它們總數(shù)的 ，一共的個(gè)數(shù)× =排球的個(gè)數(shù)；足球是它們一共的 ，總的個(gè)數(shù)× =足球的個(gè)數(shù)。

在以上教學(xué)過程中，教師借助線段圖和分?jǐn)?shù)的知識(shí)，游刃有余地引導(dǎo)學(xué)生通過口頭表述的數(shù)學(xué)語言操作和動(dòng)筆書寫的數(shù)學(xué)語言操作，進(jìn)行了更大思維界域的拓展與延伸，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的整體融合和建構(gòu)，引發(fā)了強(qiáng)烈的開放性頭腦風(fēng)暴，從而有效提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的寬度、深度和高度，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

總之，通過數(shù)學(xué)操作，使學(xué)生充分經(jīng)歷和體驗(yàn)由外及內(nèi)、由表及里、由淺入深、由感性到理性的數(shù)學(xué)思考過程，使他們輕松、高效地掌握知識(shí)的本質(zhì)性內(nèi)涵、實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，并為建構(gòu)結(jié)構(gòu)性認(rèn)知、滲透智慧性思想、實(shí)現(xiàn)靈活性運(yùn)用，有效培養(yǎng)了學(xué)生的聚合思維、發(fā)散思維、逆向思維、創(chuàng)新思維等，使學(xué)生進(jìn)入有深度和有效度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)境界。（作者單位：江蘇省南通師范第一附屬小學(xué)朝暉校區(qū)）