學(xué)會(huì)分析比只會(huì)解答更重要

最近，江蘇省南京市下關(guān)區(qū)進(jìn)修學(xué)校組織獲得“優(yōu)秀青年教師”稱號(hào)的幾位教師開匯報(bào)課，課題是蘇教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“圖形與證明（二）”的復(fù)習(xí)課。具體要求是對(duì)本章重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行整理，幫助學(xué)生對(duì)證明的必要性、證明的方法與思路、證明表述的規(guī)范等有進(jìn)一步的理解和領(lǐng)悟。筆者聽過后，感受頗多?，F(xiàn)就本節(jié)課的部分教學(xué)片段加以賞析，并談?wù)劰P者的一些思考。

片段一 活動(dòng)與思考

用一張長方形紙片折一個(gè)正方形，你能證明四邊形ADEF是正方形嗎？

（2分鐘后，學(xué)生就完成了操作，并積極思考證明方法）

生1：將長方形紙片按圖1的方式折疊，裁去右邊部分可得正方形ADEF。

師：生1折疊出的四邊形ADEF一定是正方形嗎？

生2：是的。由長方形ABCD可得：∠A＝∠ADC＝90°，由折疊知：△ADF≌△EDF，因此∠A＝∠DEF＝90°，AD＝ED。所以四邊形ADEF是正方形。

師：生2的證明思路很清晰。通過這個(gè)活動(dòng)大家有什么想法嗎？

生3：僅靠操作得出的結(jié)論不一定是正確的，其正確性還須通過推理論證。

師：很好！今天我們?cè)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)復(fù)習(xí)“圖形與證明（二）”。

【賞析】本教學(xué)片段旨在通過操作活動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，學(xué)生在操作活動(dòng)中表現(xiàn)積極，學(xué)習(xí)興趣濃，在思考如何證明時(shí)，思維活躍，表述清晰。教學(xué)中也有個(gè)別同學(xué)思路受阻，但通過與同桌的交流后也能完成。在新授課、習(xí)題課或復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師可采用猜想、操作、說理、驗(yàn)證等手段，以突破教學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。

片段二 常規(guī)問題

例1 如圖2，在△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F。求證：DE=DF。

師：請(qǐng)大家獨(dú)立思考，并在學(xué)案上書寫證明過程。

（大多數(shù)學(xué)生3分鐘左右就完成了，教師選取一學(xué)生的作業(yè)展示，并請(qǐng)?jiān)撋勊伎挤椒?。?/p>

生4：我是通過證明三角形全等解決的。因?yàn)橐C明兩條線段相等，而且這兩條線段分別是△BDE、△CDF的邊，分析條件可得到∠B=∠C，BD=CD，所以△BDE≌△CDF。

師：生4分析得很完整。還有不同的思考方法嗎？

生5：（展示作業(yè)）我是利用角平分線的性質(zhì)解決的。因?yàn)镈E、DF分別表示點(diǎn)D到邊AB、AC的距離，要證明DE=DF，我就試著思考能否證明出AD是∠BAC的平分線，分析條件AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，利用等腰三角形底邊的中線平分頂角的性質(zhì)就可以知道AD是∠BAC的平分線，從而解決問題。

師：大家明白生5的思考方法嗎？（學(xué)生集體回答：明白）顯然生5是從另一個(gè)角度來思考問題的。從這個(gè)問題的解決中，我們得到哪些啟示呢？大家可以分別交流，然后面向全班同學(xué)匯報(bào)小組交流內(nèi)容。

（3分鐘后，大部分小組有想法了）

生6：我們小組認(rèn)為，要證明兩條線段相等，最常用的方法是證明這兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等，不過，有時(shí)也可能與等腰三角形、特殊平行四邊形等知識(shí)相聯(lián)系。因此，在分析問題時(shí)，要結(jié)合已知條件、圖形加以辨析，尋找適合的解決方法。

生7：我們小組認(rèn)為，做證明題時(shí)，一般有兩種方法，一種就是從已知條件入手，通過分析已知條件得到一些新的結(jié)論，然后對(duì)照結(jié)論，思考可運(yùn)用哪些條件來解決問題；還有一種是可以由結(jié)論逆推，即倒過來思考。更好的做法是，從條件與結(jié)論兩個(gè)方面共同思考，生4、生5就是這樣做的，我們認(rèn)為效果很好！

生8：我們小組認(rèn)為，分析很重要，但證明過程的表述也很重要，每一個(gè)步驟都要完整，而且能運(yùn)用我們所學(xué)過的定理、性質(zhì)。

師：三個(gè)小組的代表匯報(bào)得很好！大家在討論時(shí)特別好，既歸納了一般方法，還提出了注意點(diǎn)。希望同學(xué)們繼續(xù)保持這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

【賞析】本題是一道常規(guī)的證明問題，難度小，解決方法單一。目的是幫助學(xué)生回顧等腰三角形的主要知識(shí)，并對(duì)證明問題的一般思路加以小結(jié)、歸納。在思考中，學(xué)生能從不同角度分析，互相補(bǔ)充、完善，表現(xiàn)出良好的思維品質(zhì)。在幾何證明問題的教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作交流等學(xué)習(xí)形式為主，擯棄教師的“一言堂”舊習(xí)，教師在歸納、總結(jié)中也應(yīng)突出學(xué)生的主體作用。

片段三 變式問題

例2 如圖3，將?荀ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE=CD，連接AE，交BC于點(diǎn)F。

（1）你能得出什么結(jié)論？請(qǐng)加以證明。

（2）連接AC、BE ，如圖4，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形ABEC是矩形。

（3）小明添加了∠AFC=2∠D，你能證明四邊形ABEC是矩形嗎？試一試。

（4）你能不能試著提出一個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)添加適當(dāng)?shù)臈l件使問題成立？

師：請(qǐng)大家思考問題1，并交流你的想法。

生9：我的結(jié)論是AB=CE，由?荀ABCD 可得AB=CD，又CE=CD，所以結(jié)論成立。

生10：生9的結(jié)論太簡(jiǎn)單了些，我的結(jié)論是△ABF≌△ECF。由AB∥CD可得：∠BAF=∠E，∠B=∠ECF，再由生9得到的結(jié)論，就可以證明了。

生11：在生10的基礎(chǔ)上還可以得到BF=CF，AF=EF。

師：大家討論得很好。哪位同學(xué)歸納一下，解決這類問題需要注意些什么？

生12：我認(rèn)為解決幾何問題尋找結(jié)論，可以從線段、角、基本圖形等方面思考。

生13：我認(rèn)為尋找新的結(jié)論時(shí)，要盡可能多地使用已知條件，比如生9的結(jié)論就太簡(jiǎn)單了。

師：大家總結(jié)得很有條理，這些都是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中需要引起重視的地方。我們來看問題2，大家思考一會(huì)，然后交流。

生14：由生11得出的結(jié)論，可以知道四邊形ABEC是平行四邊形了，因此只要添加條件∠BAC=90°，或者AE=BC就可以了。

生15：也可以添加條件AE=AD，方法與生14的差不多。

師：大家思路很開闊，想法也很好。解決了問題（1）、（2）之后，有什么想法嗎？

生16：?jiǎn)栴}（1）是根據(jù)已知條件尋找新的結(jié)論，問題（2）是給出部分條件和結(jié)論，讓我們添加新的條件來解決。兩個(gè)問題有很多的不同。

師：生16歸納得很好。這種問題我們稱之為開放型問題，解決的途徑常常有多種，大家可以結(jié)合自身的情況選擇最適合自己的方法去解決，同時(shí)要吸收其他同學(xué)的一些精彩想法。大家共同來看問題3。

生17：由問題2的解決知道，四邊形ABEC已經(jīng)是平行四邊形了，因此只要能結(jié)合條件∠AFC=2∠D，證明出四邊形ABEC的一個(gè)內(nèi)角是直角或者對(duì)角線相等就可以了。只是我還沒有想出具體的解決辦法。

師：生17的思路很好！大家可以繼續(xù)思考，也可以小組討論。

生18：我想出來了！由平行四邊形ABEC可以得出∠ABC=∠D，所以∠AFC=2∠ABF，又∠AFC=∠B+∠BAF，所以，∠BAF=∠ABF，所以FA=FB，因此AE=BC，就可以證得四邊形ABEC為矩形。

生19：在生18的基礎(chǔ)上可以證明出AE=AD，又CE=CD，所以AC⊥DE，即∠ACE=90°，則問題就解決了。

師：由于時(shí)間關(guān)系，還有不同的思路我們留到課后交流了。剛才交流自己想法的三位同學(xué)中，哪一位同學(xué)的思路顯得尤為重要？

學(xué)生齊答：生17！

師：是的。我們?cè)诜治鰡栴}時(shí)，要有全局的意識(shí)，只有把解決問題的大方向把握了，那么問題就不難解決了。大家來思考最后一個(gè)小問題。

生20：我的問題是，添加一個(gè)條件，使四邊形ABEC是菱形。可以從邊、對(duì)角線的角度思考，具體是添加AB=AC，或者AE⊥BC。

生21：我的問題是，添加適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形ABEC是正方形。至少需要添加兩個(gè)條件，在生20的基礎(chǔ)上，再添加∠BAC=90°或者AE=BC就可以了。

師：很好！請(qǐng)大家課后繼續(xù)交流。剛才我們花了不少時(shí)間探究了四個(gè)問題，其實(shí)四個(gè)問題是環(huán)環(huán)相扣的，第（1）、（2）、（4）都是開放型問題，大家交流得很好！問題3是在問題2的基礎(chǔ)上給出的一種特殊情況，生17的想法值得大家借鑒。下面我們來做練習(xí)……

【賞析】本教學(xué)片段以平行四邊形為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了三個(gè)不同層次的開放型問題和一個(gè)確定型問題，關(guān)注學(xué)生思維方法的訓(xùn)練與提高，同時(shí)對(duì)學(xué)生提出問題的水平也有所關(guān)注。通過學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、班級(jí)匯報(bào)等方式組織活動(dòng)，效果很好！學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性很高，思維非?；钴S。在探究思維層次較高的問題時(shí)，可適當(dāng)鋪設(shè)臺(tái)階，增加變式練習(xí)，以更好地關(guān)注不同層次學(xué)生的思維水平發(fā)展。

波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)，就是意味著善于解題。在筆者平時(shí)所聽的習(xí)題課中，大多數(shù)教師都不放心學(xué)生，只是一味地自己講，不愿意留出時(shí)間讓學(xué)生思考、交流。結(jié)果，題目講解得很多，但收效甚微。

在教學(xué)過程中，教師在把握預(yù)設(shè)與生成方面表現(xiàn)得相當(dāng)出色。如在生2回答問題后，教師問：“生2的證明思路很清晰。通過這個(gè)活動(dòng)大家有什么想法嗎？”因此就出現(xiàn)生3的精彩小結(jié)。這樣避免了傳統(tǒng)教學(xué)中常常出現(xiàn)的教師“一言堂”現(xiàn)象。再如，生5回答結(jié)束后，教師問：“大家明白生5的思考方法嗎？（學(xué)生集體回答：明白）顯然生5是從另一個(gè)角度來思考問題的。從這個(gè)問題的解決中，我們得到哪些啟示呢？大家可以分別交流，然后面向全班匯報(bào)小組的交流內(nèi)容?！睂W(xué)生交流出了一系列精彩的想法，幫助大家歸納出了一般性的證明兩條線段相等的思路與方法。當(dāng)然，如果教師接著問：“我們證明兩個(gè)角相等可以有什么辦法呢？”或許效果會(huì)更好。分析例2時(shí)，教師放手讓學(xué)生思考，只說了簡(jiǎn)短的幾句話，而且學(xué)生在交流中顯得意猶未盡。其實(shí)，在后面的課堂練習(xí)中，教師也是這樣做的。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了復(fù)習(xí)課、習(xí)題課，我們?cè)谏闲率谡n時(shí)也會(huì)遇到大量的習(xí)題教學(xué)。在習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)更多關(guān)注如何分析問題，而不能一味地教學(xué)生做習(xí)題。只要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，預(yù)設(shè)能激發(fā)學(xué)生思維的問題，我們的教學(xué)就一定有效果。長期這樣，學(xué)生的思維水平也必將得到很大提升！（作者單位：江蘇省南京市第39中學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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