思維在撐起的“模型”桅桿下走向深處

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段。在華東六省一市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀(guān)摩活動(dòng)中，筆者聽(tīng)了江蘇省吳靜老師執(zhí)教的“三角形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課，本節(jié)課吳老師在充分解讀教材、把握重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，以數(shù)學(xué)模型為抓手，大膽突破教材，借助形象直觀(guān)的教具，層層剝筍，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有需求，有理有據(jù)，有情有趣，學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)由粗淺到深入，由表象到本質(zhì)，思維發(fā)展循序漸進(jìn)，逐步走向深入，數(shù)學(xué)建模水到渠成，在互動(dòng)中智慧生成數(shù)學(xué)模型。

一、拋出問(wèn)題，大膽猜想

師：大家會(huì)用小棒圍三角形嗎？

生：會(huì)！

師：先看老師用小棒來(lái)圍三角形。（如圖）

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師：這樣是三角形嗎？

生：不是。

師:為什么？

生：有兩根小棒沒(méi)有圍到一起。

師：怎樣才能?chē)扇切危?/p>

生：3根小棒要首尾相連。

師：那任意3根小棒一定能?chē)扇切螁幔?/p>

生：不是。

師：這畢竟是我們的猜想，究竟行不行，我們還得動(dòng)手來(lái)試一試。老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了4組小棒。（給出教具）

■

師：把這條藍(lán)邊固定好，用紅、黃兩條邊去配，連在藍(lán)邊的兩頭。

（4個(gè)學(xué)生上黑板圍三角形，其他學(xué)生小組合作探究。）

師：這4組小棒都能?chē)扇切螁幔?/p>

生：不是。

（活動(dòng)得出第一組、第二組能?chē)扇切?，第三組兩條邊根本夠不到，不能?chē)扇切?，第四組雖然夠到了，但是連成了一條線(xiàn)段也不行。）

師：我們發(fā)現(xiàn)有的3根小棒能?chē)扇切危械牟荒車(chē)扇切巍?/p>

【賞析】吳老師在引入新課時(shí)，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直截了當(dāng)，從“圍”三角形開(kāi)始，教師故意圍錯(cuò)讓學(xué)生形象地感知“圍”三角形就是“頭連頭，尾連尾”，這樣才是一個(gè)封閉的平面圖形，接下來(lái)教師拋出一個(gè)猜想：任意3根小棒一定能?chē)扇切螁?？引?dǎo)學(xué)生通過(guò)大膽猜想，小心求證，為后續(xù)學(xué)習(xí)總結(jié)概括，為探尋解決問(wèn)題的科學(xué)方法做好鋪墊。

二、驗(yàn)證猜想，初建模型

1.探究第一個(gè)條件

師：同樣是用紅、黃兩條邊去配這一條藍(lán)邊，這兩組能?chē)扇切?，那兩組不能?chē)扇切危@是為什么？紅黃兩條邊的長(zhǎng)度究竟要符合怎樣的條件才能和藍(lán)邊圍成三角形呢？請(qǐng)大家小組里討論一下。

生：紅黃兩邊的長(zhǎng)度和要大于藍(lán)邊的長(zhǎng)度。

師：要圍成一個(gè)三角形，紅黃邊的和一定要大于藍(lán)邊。（板書(shū)：紅＋黃＞藍(lán)）

2．探究第二個(gè)條件

判斷：

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（前3組判斷略）

師：第四組藍(lán)邊10厘米、紅邊3厘米，黃邊15厘米，可以圍成三角形嗎？

生：不行。

師：為什么？

生：一條邊太長(zhǎng)了。

師：哪一條邊太長(zhǎng)？

生：15厘米的黃邊太長(zhǎng)了。

師：哦！這條黃邊太長(zhǎng)了。

師：那反過(guò)來(lái)，如果黃邊不變，要圍成一個(gè)三角形，紅邊和藍(lán)邊的長(zhǎng)度和有什么要求？

生：必須大于15厘米。

（師板書(shū)：紅＋藍(lán)＞黃）

師：那這樣看來(lái)，只考慮這個(gè)條件（紅＋黃＞藍(lán)）顯然是不夠的， 我們還得要考慮第二個(gè)條件（紅＋藍(lán)＞黃）。

【賞析】 吳老師根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的結(jié)論讓學(xué)生判斷，在判斷中設(shè)置認(rèn)知障礙，引出僅僅有第一個(gè)條件還不管用，引發(fā)學(xué)生思考并修改結(jié)論，得出還需要“紅＋藍(lán)＞黃”的結(jié)論，這樣讓學(xué)生在反例中頓悟，使學(xué)生思維不斷走向深入。

3．探究第三個(gè)條件

師：那是不是只要符合這兩個(gè)條件，紅黃藍(lán)三根小棒就一定能?chē)扇切文兀?/p>

生：不是。

師：那你們說(shuō)還要滿(mǎn)足其他什么條件呢？

（生猜想：黃邊加藍(lán)邊必須大于紅邊。）

（師板書(shū)：黃＋藍(lán)＞紅）

（師出教具：

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師：請(qǐng)你一一對(duì)照，看看是否符合條件一、條件二？可以圍成三角形嗎？

生：符合前兩個(gè)條件，但是還是不能?chē)扇切巍?/p>

師：為什么？

生：黃邊加藍(lán)邊的長(zhǎng)度和要大于紅邊。

師：確實(shí)還要滿(mǎn)足這個(gè)條件。

【賞析】 波利亞說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。吳老師為學(xué)生提供了探究發(fā)現(xiàn)的4組小棒，讓學(xué)生動(dòng)手圍一圍，學(xué)生在操作中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的小棒可以圍成三角形，有的小棒不能?chē)扇切?，接著教師啟發(fā)學(xué)生思考核心問(wèn)題：“紅黃兩邊的長(zhǎng)度究竟符合怎樣的條件才能?chē)扇切文?？”?jīng)過(guò)小組研究，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了初步結(jié)論，雖然這個(gè)初步結(jié)論是不完善的，但因?yàn)槭菍W(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，對(duì)于個(gè)體來(lái)講，它的價(jià)值和科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造是等同的。

4.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

師：由此看來(lái)，圍成三角形的三條邊必須符合哪些條件才可以？

生：紅＋黃＞藍(lán)、紅＋藍(lán)＞黃、黃＋藍(lán)＞紅。

師：說(shuō)得很好。但這樣說(shuō)非常繞口，讓別人聽(tīng)得弄不清頭緒，怎樣表達(dá)既簡(jiǎn)單又明了？

生1：三條邊中的每?jī)蛇叺暮投家笥谑Ｏ碌牡谌龡l邊。

生2：就是任意兩條邊的和都要大于第三條邊。

（師板書(shū)：任意兩條邊的長(zhǎng)度和要大于第三邊。）

師：說(shuō)法簡(jiǎn)單了，但是驗(yàn)證的時(shí)候還要3個(gè)條件一一滿(mǎn)足才可以。

【賞析】抽象、概括、嚴(yán)密是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。教師精心設(shè)計(jì)，從立中破，從破中立，讓學(xué)生經(jīng)歷從A，到不但A，還要B，再到不但A和B，還要C，引發(fā)學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)，抽象概括，從繁到簡(jiǎn)，高度抽象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)高度抽象和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臒o(wú)窮魅力。學(xué)生經(jīng)歷不斷抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，實(shí)際上已經(jīng)完成了數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，“任意兩邊之和大于第三邊”這一數(shù)學(xué)模型就水到渠成了。

三、優(yōu)化提升，完善模型

（教師要學(xué)生快速判斷：2、3、8；4、7、8；6、5、8，這三邊能?chē)扇切螁?？?/p>

師：老師發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)判斷的速度非常快，有什么竅門(mén)和大家分享一下。

生：找到最短的兩條邊加起來(lái)大于8就可以了。

師：他計(jì)算了幾次？

生：1次。

師：為什么其他的條件不用驗(yàn)證就知道這三組小棒可以圍成三角形呢？

生：因?yàn)?和5是這三條邊中最短的兩條，其他的就更不用說(shuō)了。

師：那這樣看來(lái)只需計(jì)算一次就可以下結(jié)論了。真巧妙！

（板書(shū)：兩條短邊之和大于第三邊）

師：5厘米、5厘米、5厘米。這三條邊沒(méi)有長(zhǎng)短之分，能?chē)扇切螁幔?/p>

生：能。

師：為什么？

生：因?yàn)橹灰粋€(gè)算式5+5＞5，就把所有的邊驗(yàn)證好了。

師：圍出來(lái)會(huì)是怎樣的三角形？三條邊長(zhǎng)度都相等，這樣的三角形叫等邊三角形。

【賞析】當(dāng)學(xué)生運(yùn)用規(guī)律判斷交流時(shí)，發(fā)現(xiàn)了判斷的竅門(mén)，以此為出發(fā)點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探索為何只需判斷一次的道理，有理有據(jù)，不斷優(yōu)化、完善模型結(jié)構(gòu)，同時(shí)對(duì)三角形本質(zhì)的理解更深入、更全面，真可謂是實(shí)踐出真知。再次優(yōu)化實(shí)際上是引導(dǎo)學(xué)生打破剛才建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，抓住問(wèn)題的本質(zhì)屬性，用兩條短邊和最長(zhǎng)的第三邊比較，形成一個(gè)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)：“兩條短邊之和大于第三邊。”

總之，本課設(shè)計(jì)巧妙，探究層次清晰，學(xué)生興趣濃厚，可以觸發(fā)他們更有針對(duì)性地思考。在這樣的探究過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了從表象到本質(zhì)，從具體到抽象的過(guò)程，步步深入三角形的本質(zhì)特征，拓展了思維深度，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由此，在教學(xué)中，我們也應(yīng)緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的探究，經(jīng)歷猜想、嘗試、驗(yàn)證、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用模型解決問(wèn)題等歷程，以數(shù)學(xué)建模為抓手，把學(xué)生的思維引向深處。（作者單位：江蘇省江陰市華士實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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