一階非線性時滯差分方程的線性化振動定理

趙香蘭，陳慧琴

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009)

近些年來，許多專家學者對差分方程解的振動性、漸近性等做了大量的探討，得到了一些很好的結果，如文獻[1-4]。隨著科學技術的不斷發(fā)展與計算機的廣泛應用，人們提出了許多由差分方程描述的數(shù)學模型，因而對非線性差分方程線性化振動性的討論就顯得非常必要，文獻[4-5]研究了形如

的差分方程的線性化振動性。但對于中立型差分方程的線性化問題，尚較少見到結果。為此，本文討論一類非線性中立型時滯差分方程

Δ（xn-pnxn-τ）+f(n，xn-k1，xn-k2，…，xn-km)=0，n∈N。其線性化差分方程為

其中τ，m為正整數(shù)，ki為非負整數(shù)，當n∈N時，pn＞ 0，qi(n)(i=1，2，…，m)非負，且不全為零。如果實數(shù)列{xn}滿足方程(1)，我們稱{xn}為方程(1)的一個解;如果存在N∈N+，當n＞N時，xn＞0，我們稱{xn}為方程(1)的一個最終正解;最終負解可類似定義。如果方程(1)的一個解{xn}既不是最終正解，也不是最終負解，則稱此解為方程(1)的振動解;若方程(1)的所有解振動，則稱方程(1)振動。

先考慮差分方程

與差分不等式

其中τ，m為正整數(shù)，ki為非負整數(shù)，當n∈N時，

且 f關于ui(i=1，2，…，m)非減。

引理 設(H1)有 N ＞ 0，使得PN+kτ≤1，k≥0，若{xn}為方程(1)的最終正解，令zn=xn-pnxn-τ，則最終有 Δzn≤ 0，zn＞ 0。

此引理的證明類似文獻[4]中的證明，此處省略其證明過程。

定理1 設引理中的條件成立，則方程(1)有最終正解的充要條件是不等式(2)有最終正解。

即方程(1)振動的充要條件是不等式(2)振動。

證明 方程(1)的最終正解顯然是不等式(2)的最終正解。

設不等式(2)有最終正解{xn}，由定義及引理知，有正整數(shù)M，使得n≥M- μ時，xn＞0，xn-τ＞0，從而有

這時由(2)，得

對上式從n到∞求和，得

進而得

考慮序列

由(3)知

因此，有

滿足

令 vn=xn，顯然是方程(1)的非負解。下證若存在 n*，使得 M-μ≤n＜n*時，vn＞0，而vn*=0，這時有

這是一個矛盾式子。

定理2 設定理1中的條件成立，記，

(H2)則方程(1)振動。

證明 設方程(1)有一個最終正解{xn}，由定義及引理知，有正整數(shù)M，使得n≥M-μ時，

xn＞0，xn-τ＞0，xn-ki＞0(1≤i≤m)，Δzn≤0，zn＞0，從而有

于是，由(1)知

對上式從n到∞求和，得

這與條件(H2)矛盾。

定理3 設定理1中的條件成立，且有非負數(shù)列{q1(n)}，{q2(n)}，…，{qm(n)}，使得

若方程

振動，則方程(1)也振動。

證明 設方程(1)有一個最終正解{xn}，由條件(H3)，有

再由定理1，知{xn}是方程(4)的一個最終正解，這與條件矛盾。

[1]Chen Hui-qin，Jin Zhen.Oscillation Criteria of Solution for a Second Order Difference Equation with Forced Term[J].Discrete Dynamics in Nature and Society，2010，171234：6.

[2]張全信，燕居讓，武延樹.一類二階非線性差分方程解的漸近性質[J].數(shù)學的實踐與認識，2008，38(12):88-90.

[3]ChengSS，ZhangG.Nonexistencecriteriaforpositivesolutionsofanonlinearrecurrencerelation[J].MathlComputModelling，1995，22(2):59-66.

[4]張廣，高英.差分方程的振動理論[M].北京:高等教育出版社，2001.

[5]Ladas G，Qian C.Oscillation in differential equation with positive and negative coefficients[J].Canada Math Bull，1990，33:442-451.