一類梁方程的精確可控性

王紅雁

（山西農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，山西太谷 030800）

在本文中主要討論下列梁方程系統(tǒng)

其中L是梁的長(zhǎng)度，上標(biāo)y″，yx表示關(guān)于t，x求偏導(dǎo)數(shù)，R1表示實(shí)數(shù)集。

首先考慮（1）所對(duì)應(yīng)的齊次系統(tǒng)

的一些性質(zhì)，從而得到了兩個(gè)系統(tǒng)在零時(shí)刻的狀態(tài)空間之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；最后從這映射的象解出其原象（即驗(yàn)證這一映射是滿射），由此得到了系統(tǒng)（1）的精確可控性。

定義1 問(wèn)題（1）是零精確可控的是指：給定T＞0，若對(duì)任意（y0，y1）∈H－1［0，L］×H－3［0，L］，存在一個(gè)相應(yīng)的控制v∈L2（0，T），使得系統(tǒng)（1）的解滿足：y（x，T）＝0，y′（x，T）＝0，x∈［0，T］。

定理 2 給定T ＞0，?c＝c（T）＞0，使得對(duì)于（u0，u1）∈Z×Z問(wèn)題（2）的解滿足下列不等式：因此有一個(gè)唯一的連續(xù)線性映射

使得 L（u0，u1）＝uxx，?（u0，u1）∈Z × Z0。引入線性映射：

可以重新寫這個(gè)恒等式為下面的形式：

LS（u0，u1）＝〈（y′（S），－y（S）），（u（S）u′（S））〉X′，X

定義 3 如果（y，y′）∈（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）且對(duì)于?S∈R1，（u0，u1）∈X 這一恒等映射 LS（u0，u1）＝〈（y′（S），－y（S）），（u（S）u′（S））〉X′，X成立，則稱（y，y′）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)解。

定理 4 給定（y0，y1）∈H－1［0，L］×H－3［0，L］且則系統(tǒng)（1）有一個(gè)唯一的解，而且線性映射（y0，y1，v）α（y，y′）連續(xù)。

證明 由 定理2知，對(duì)于每個(gè)固定S∈R1，線性形式 LS在 X ＝H3［0，L］×H1［0，L］中有界，而且可以得到線性映射（u（S），u（′S））α（u0，u1）是X＝H3［0，L］×H1［0，L］到自身的同構(gòu)[2]，因此線性映射

（u（S），u（′S））α L（Su0，u1）

接下來(lái)證明函數(shù)

在每個(gè)有界區(qū)間上有界的。即證明對(duì)于每個(gè)有界區(qū)間 I且 S∈I，有

其中 c（I）由 S，v，y0，y1決定。

事實(shí)上，選擇（u0，u1）∈X，引入下面的簡(jiǎn)寫符號(hào)：

若（y0，y1）∈H－1［0，L］× H－3［0，L］，且 v ∈（R1），使得 v（ 0）＝0 則系統(tǒng)（1）有一個(gè)正則解

y∈C（R1；H－［10，L］）∩C1（R1；H－［30，L］），特別地有（y，y′）∈C（R1；H－［10，L］×H－3［0，L］）。因?yàn)?/p>

在C（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）中稠，由

得出

（y，y′）∈C（R1；H－1［0，L］×H－3［0，L］）在一般情形也成立。由知線性映射（y0，y1，v）α（y，y′）。

且系統(tǒng)（1）的解滿足

y（T）＝0，y′（T）＝0。

次系統(tǒng)（2）則下列系統(tǒng)

有一個(gè)唯一的解。由定理2，定理4得到Λ（u0，u1）＝（y′（0），－y（0））。

[1]張恭慶,林源渠.泛函分析講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

[2]Komornik V.Exact controllability and stabilization[M].Paris:Chichester,1994.