雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的美式期權(quán)定價(jià)

賈亦佳, 薛 紅，呼 苗

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

0 引 言

期權(quán)定價(jià)一直是金融數(shù)學(xué)的核心問題之一。最早可以追溯到1973年, BLACK等提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型,得到了Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式[1]。GREENE等[2]運(yùn)用R/S算法, 用多種股票數(shù)據(jù)作為樣本, 發(fā)現(xiàn)股票價(jià)格的波動(dòng)具有明顯的長程相關(guān)性, 但Black-Scholes模型并沒有考慮到金融資產(chǎn)價(jià)格的長程相關(guān)性[2]。為了克服這一缺陷,PETERS創(chuàng)造性的提出將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域[3-4]。程潘紅對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下50ETF期權(quán)進(jìn)行實(shí)證研究[5]；陳飛躍和林漢燕繼續(xù)研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下可轉(zhuǎn)債定價(jià)及美式兩值期權(quán)[6-7]。為了進(jìn)一步擴(kuò)展幾何布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用范圍,FRANCESCO和CIPRIAN等學(xué)者提出并研究了一類更為一般的、不具有增量的平穩(wěn)性和獨(dú)立性的自相似高斯過程, 即雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[8-10]。雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)可用于非平穩(wěn)股票收益率情形下的期權(quán)定價(jià)。徐峰等研究了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式期權(quán)定價(jià)[11-12]。由于美式期權(quán)不同于歐式期權(quán), 美式期權(quán)定價(jià)模型沒有解析解, 因此需要進(jìn)行數(shù)值法求解。李文佳等研究了在布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下美式期權(quán)的數(shù)值解[13-14];鐘堅(jiān)敏等研究了在布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下美式期權(quán)定價(jià)的有限差分法[15-17]；匡能暉等研究了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的極大似然估計(jì)[18-20];朱江良等用最小二乘蒙特卡洛法對(duì)美式期權(quán)價(jià)格進(jìn)行模擬[21-22]。針對(duì)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)符合更一般的實(shí)際金融市場以及美式期權(quán)需要進(jìn)行數(shù)值求解的特點(diǎn), 本文在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下建立金融市場模型。運(yùn)用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論, 假設(shè)股票價(jià)格服從由雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程, 利用2種期權(quán)定價(jià)方法計(jì)算期權(quán)價(jià)格并進(jìn)行實(shí)證分析，并將雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的美式期權(quán)價(jià)格與標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下美式期權(quán)價(jià)格進(jìn)行了比較。

1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

|t-s|2HK],s,t≥0

圖1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)樣本軌道

1)當(dāng)H=0.5,K=1時(shí), 樣本軌道為幾何布朗運(yùn)動(dòng)樣本軌道;

2)當(dāng)H=0.6,K=1時(shí), 樣本軌道為一般分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)樣本軌道;

3)當(dāng)H=0.6,K=0.8時(shí)，樣本軌道為一般雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)樣本軌道。

2 金融市場模型

2.1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模型

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程

(1)

(2)

隨機(jī)微分方程解(2)的解為

(3)

例2標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格(式(3))的Monte Carlo模擬:假設(shè)S0=1,σ=0.2,μ=0.01,H=0.6,K=0.8, 在區(qū)間[0,1]上模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本軌道。將區(qū)間[0,1]分為100等份, 即Δt=0.01, 利用雙分?jǐn)?shù)樣本軌道模擬方法可得標(biāo)的資產(chǎn)樣本軌道,結(jié)果見圖2。

圖2 模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格3條樣本軌道

2.2 模型參數(shù)估計(jì)

由式(3)及雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是高斯過程可知(X1,X2,…,Xn)T～N(μ,Σ), 其中：μ為均值向量,μ=(μ1,μ2,…,μn)T,

Σ為協(xié)方差矩陣,Σ=(σi,j)n×n,

i,j=1,2,…,n

建立極大似然函數(shù)

(4)

式中:X=(X1,X2,…,Xn)T為樣本,μ為樣本均值向量,Σ為樣本協(xié)方差陣。

利用極大似然函數(shù)法及樣本數(shù)據(jù)可得參數(shù)σ,H,K的估計(jì)值。

3 美式期權(quán)定價(jià)

3.1 美式期權(quán)定價(jià)模型

由定義1可得

(5)

(6)

Πt=Vt-mtSt

(7)

由引理2有

dΠt=dVt-mtdSt

dΠt=rΠtdt

從而可得

(8)

在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下, 美式看跌期權(quán)價(jià)格滿足

(9)

式中W為執(zhí)行價(jià)格。

同理, 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下, 美式看漲期權(quán)價(jià)格滿足

(10)

3.2 有限差分法

由文獻(xiàn)[15]知,雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下美式期權(quán)價(jià)值滿足偏微分方程(8)。假設(shè)期權(quán)在T時(shí)刻到期, 在期權(quán)存續(xù)期內(nèi), 標(biāo)的資產(chǎn)可能出現(xiàn)的最高價(jià)Smax。運(yùn)用有限差分法,首先對(duì)需要求解的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分。計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0,T]×[0,Smax],令

通過對(duì)區(qū)域、起始結(jié)束時(shí)間選擇，顯示該段時(shí)間本區(qū)域機(jī)井的用水記錄或指定具體機(jī)井查詢該機(jī)井在這段時(shí)間的用水記錄。

(11)

則網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為

(12)

(13)

將式(13)代入式(8)，得差分方程

(14)

整理式(14)，得

ajVi+1,j-1+bjVi+1,j+cjVi+1,j+1=Vi,j

(15)

(16)

式中：

3.3 最小二乘蒙特卡洛法

由文獻(xiàn)[22], 基于有限的時(shí)間點(diǎn), 根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)的模擬路徑在每個(gè)時(shí)刻的截面數(shù)據(jù), 利用最小二乘回歸求解出繼續(xù)持有美式期權(quán)的期望收益, 并與該時(shí)刻立即行權(quán)的可得現(xiàn)金流相比較。如果后者大于前者, 則立即行權(quán)；否則, 則繼續(xù)持有期權(quán)。

生成股票價(jià)格樣本路徑，計(jì)算每條標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和期權(quán)收益流程為：

2)構(gòu)造出最后一期現(xiàn)金流序列:

4)選出i-1時(shí)期實(shí)值的期權(quán)路徑:

5)計(jì)算i-1期對(duì)應(yīng)的從最后一期至i期的每期現(xiàn)金流貼現(xiàn)之和:

7)取a1、a2、a3得到在i-1時(shí)期繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益為

8)找出期權(quán)在i-1時(shí)期將被執(zhí)行的路徑

其余路徑為繼續(xù)持有路徑。

9)若在i-1時(shí)期立即執(zhí)行,則

若i-1時(shí)期后的路徑現(xiàn)金流為0,則

若i-1時(shí)期后繼續(xù)持有的期權(quán)價(jià)值為0,則

10)所有現(xiàn)金流貼現(xiàn)求和并求均值,得到期權(quán)價(jià)格f

4 實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)分析

豆粕期權(quán)歷史數(shù)據(jù)中, 發(fā)現(xiàn)合約名稱為m1905、m1907、m1908、m1909、m1911、m2012等合約比較活躍, 其中合約m1905有166個(gè)歷史數(shù)據(jù), m1907有207個(gè)歷史數(shù)據(jù), m1908有194個(gè)歷史數(shù)據(jù), m1909有210個(gè)歷史數(shù)據(jù), m2012有203個(gè)歷史數(shù)據(jù)。分別對(duì)上述合約進(jìn)行標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列增量的獨(dú)立平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

首先選取了豆粕期貨合約名稱為m1908在2018年8月16日到2019年7月5日共194 d交易日標(biāo)的價(jià)格數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列是否具有獨(dú)立平穩(wěn)增量性。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的長程相關(guān)性由自相關(guān)性檢驗(yàn)，如圖3所示。

圖3 合約m1908標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格偏自相關(guān)性

從自相關(guān)圖(圖3)可以看出, 自相關(guān)系數(shù)向零衰減的速度非常緩慢, 且沒有落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)；由自相關(guān)圖(圖3)還可以判斷, 此序列具有長程相關(guān)性。

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn), 通過SPSS軟件對(duì)資產(chǎn)的收益率進(jìn)行獨(dú)立增量性檢驗(yàn)。在置信水平0.05下, 資產(chǎn)收益率序列不具有獨(dú)立增量性。

其次, 對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)收益率序列進(jìn)行平穩(wěn)增量性檢驗(yàn)。用SPSS軟件進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn), 在顯著性水平0.05下, 資產(chǎn)收益率序列增量沒有相同的概率分布。由于標(biāo)的資產(chǎn)收益率序列不具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量性, 則數(shù)據(jù)適用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境刻畫。

對(duì)其他合約歷史數(shù)據(jù)用同樣的方法進(jìn)行檢驗(yàn), 檢驗(yàn)結(jié)果與合約m1908檢驗(yàn)結(jié)果一致。本文選取m1908數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及期權(quán)價(jià)格模擬：

1)在幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下, 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為

利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì), 有

2)在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下, 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為

利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),有

3)在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下, 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為

利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),有

使用Matlab編程,得到各個(gè)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線與真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線，見圖4～6。

圖4 布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度

對(duì)比幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線與真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線(圖4), 可以看出幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線與真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線擬合度并不高。

由圖5可以看出, 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線與真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線擬合度, 比幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線與真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線擬合度(圖4)并未提高多少。

圖5 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度

從圖6可以看出, 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線較幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線(圖4)與真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度曲線擬合的更好,說明雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更適合描述復(fù)雜的金融市場。

圖6 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度

4.2 期權(quán)價(jià)格數(shù)值計(jì)算

選取豆粕期權(quán)(m1908)進(jìn)行實(shí)證分析。選取2018年9月11日中到期日為2019年7月5日的全部合約, 基本信息見表1。

表1 豆粕期權(quán)基本信息

已知2018年9月11日豆粕期權(quán)的收盤價(jià)格為2 816元，即S0=2 816；無風(fēng)險(xiǎn)利率選取央行2019年定期存款3個(gè)月的利率, 為1.1%, 故r=0.011。利用式(9)和式(10), 用Matlab軟件編程, 運(yùn)用有限差分法(式(16))以及計(jì)算出的各個(gè)參數(shù),即可計(jì)算出豆粕美式期權(quán)價(jià)格pki,如表2、3所示。表2、3中，φp1=(p1i-pi)/pi,φp2=(p2i-pi)/pi,φp3=(p3i-pi)/pi;φc1=(c1i-ci)/ci,φc2=(c2i-ci)/ci,φc3=(c3i-ci)/ci。M=30,N=50,T=194/365。

表2 美式看跌期權(quán)對(duì)比分析(有限差分法)

用表2和表3數(shù)據(jù), 可得計(jì)算結(jié)果與實(shí)際價(jià)格的平均相對(duì)誤差:

表3 美式看漲期權(quán)對(duì)比分析(有限差分法)

1)幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下平均相對(duì)誤差

0.384 79

2)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下平均相對(duì)誤差

0.359 09

3)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下平均相對(duì)誤差

0.099 434

可見,RE3

使用Matlab軟件, 運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛法對(duì)美式期權(quán)價(jià)格進(jìn)行模擬。模擬10 000次,結(jié)果見表4和表5。

表4 美式看漲期權(quán)對(duì)比分析(最小二乘蒙特卡洛法)

表5 美式看跌期權(quán)對(duì)比分析(最小二乘蒙特卡洛法)

用表4和表5數(shù)據(jù), 可得計(jì)算結(jié)果與實(shí)際價(jià)格的平均相對(duì)誤差:

1)幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下平均相對(duì)誤差

0.287 38

2)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下平均相對(duì)誤差

0.281 604

3)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下平均相對(duì)誤差

0.079 306 4

通過2種定價(jià)方法在3種環(huán)境下與真實(shí)期權(quán)價(jià)格的誤差分析，可以得出,最小二乘蒙特卡洛方法計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格比有限差分法計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格誤差更小。

運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛方法模擬美式期權(quán)價(jià)格, 與有限差分法計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格的結(jié)論一致;雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下數(shù)值計(jì)算的期權(quán)價(jià)格較分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下數(shù)值計(jì)算的期權(quán)價(jià)格, 偏差要小。雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能更好的刻畫市場波動(dòng), 說明了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更適合描述復(fù)雜的金融市場。因此, 無論用什么定價(jià)方法,在布朗運(yùn)動(dòng),分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)以及雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境對(duì)比下, 都可以得到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下刻畫的金融市場與實(shí)際金融市場更加貼近。

5 結(jié) 語

在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算并進(jìn)行實(shí)證分析。結(jié)果顯示:雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下期權(quán)價(jià)格更加接近真實(shí)市場價(jià)格, 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下期權(quán)定價(jià)模型更加符合實(shí)際金融市場。本文在之前的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展了較為理想化的期權(quán)定價(jià)模型, 并根據(jù)實(shí)際市場數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)與實(shí)證分析,可以給投資者一定的建議。除此之外,也可以考慮實(shí)際金融市場波動(dòng)率不是常數(shù)的條件下進(jìn)行期權(quán)定價(jià)研究。