基于總體最小二乘的大地測(cè)量反演理論及應(yīng)用研究

王樂洋

東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西南昌330013

基于總體最小二乘的大地測(cè)量反演理論及應(yīng)用研究

王樂洋

東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西南昌330013

對(duì)于地球物理大地測(cè)量學(xué)中大部分線性模型來說，其系數(shù)矩陣并非常數(shù)陣，而是由其他方法觀測(cè)、計(jì)算得到的；一般由于數(shù)據(jù)采樣大小、模型化及測(cè)量等原因，系數(shù)矩陣是具有一定誤差的變量矩陣。如何處理系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量同時(shí)存在的誤差，是大地測(cè)量反演等數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域研究的新課題之一?？傮w最小二乘（total least squares，TLS）方法是處理這一問題的有效方法，論文的研究?jī)?nèi)容分為以TLS為中心的理論（解的性質(zhì)及算法）研究和應(yīng)用（TLS大地測(cè)量反演）研究?jī)蓚€(gè)方面，主要包括：

（1）系統(tǒng)研究TLS解的性質(zhì)，通過理論推導(dǎo)和證明發(fā)現(xiàn)TLS解及數(shù)學(xué)期望是最小二乘（LS）解及數(shù)學(xué)期望的線性變換；TLS單位權(quán)方差估值小于LS單位權(quán)方差估值；TLS解的條件數(shù)總是比LS解大，TLS解更容易受到數(shù)據(jù)誤差的影響等。

（2）系統(tǒng)研究TLS的幾何解釋及適用性，定義與殘差距離有關(guān)的角度，繪制了LS、數(shù)據(jù)最小二乘（DLS）和TLS準(zhǔn)則的幾何關(guān)系圖；推導(dǎo)TLS的擾動(dòng)分析公式，通過分析發(fā)現(xiàn)，該公式是LS和DLS擾動(dòng)分析公式的概括（統(tǒng)一）形式；詳細(xì)推導(dǎo)了倍乘、和或差、線性、非線性函數(shù)等關(guān)系下及兩個(gè)相關(guān)變量矩陣之間的TLS誤差傳播定律。

（3）詳細(xì)推導(dǎo)觀測(cè)值與系數(shù)矩陣元素相關(guān)且不等精度下的TLS計(jì)算公式，利用矩陣?yán)边\(yùn)算求解隨機(jī)模型，并利用組合觀測(cè)值的思想將TLS轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的、為大家熟知的LS計(jì)算方法，給出了TLS平差的精度評(píng)定公式，利用測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差驗(yàn)證了方法的有效性。

（4）采用嶺估計(jì)法處理加權(quán)TLS的病態(tài)性問題，推導(dǎo)相應(yīng)的求解公式及均方誤差評(píng)定精度的方法，定義了病態(tài)加權(quán)TLS中的模型參數(shù)分辨矩陣，并討論嶺參數(shù)的含義及其作用，給出確定嶺參數(shù)的嶺跡法、廣義交叉核實(shí)法和L曲線法；算例顯示本文方法是非常有效的。

（5）推導(dǎo)附有相對(duì)權(quán)比（標(biāo)度）的加權(quán)TLS估計(jì)公式，提出確定相對(duì)權(quán)比的驗(yàn)前單位權(quán)方差法和目標(biāo)函數(shù)最小化法。當(dāng)觀測(cè)值和系數(shù)矩陣的單位權(quán)方差在估計(jì)之前比較準(zhǔn)確已知時(shí)，驗(yàn)前單位權(quán)方差法可以確定出合理的相對(duì)權(quán)比并得到較好的計(jì)算結(jié)果；當(dāng)驗(yàn)前單位權(quán)方差不準(zhǔn)確時(shí)，采用目標(biāo)函數(shù)最小化法來確定相對(duì)權(quán)比，可以得到目標(biāo)函數(shù)最小的結(jié)果。

（6）推導(dǎo)獨(dú)立、不等精度、同單位權(quán)方差時(shí)的附隨機(jī)等式約束的加權(quán)TLS方法；提出TLS聯(lián)合反演方法，詳細(xì)推導(dǎo)了線性、非線性等情況下加權(quán)TLS的單一反演和聯(lián)合反演方法，給出了算法流程圖及迭代步驟。

（7）提出并推導(dǎo)地殼應(yīng)變參數(shù)反演的TLS方法，包括邊長(zhǎng)變化、坐標(biāo)位移反演應(yīng)變參數(shù)的TLS方法；提出地殼應(yīng)變參數(shù)反演的多維變量模型，并推導(dǎo)相關(guān)的TLS方法；提出了基于TLS的非均勻地殼應(yīng)變模型（TLSHSM），利用1998—2004年的249個(gè)GPS水平速度場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)和TLS－HSM反演川滇地區(qū)的應(yīng)變率參數(shù)，通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，TLS－HSM是比LS－USM（均勻模型）更適合該區(qū)域地殼運(yùn)動(dòng)和形變解釋的模型。

（8）利用2002—2003年的長(zhǎng)白山天池火山區(qū)垂直位移和水平位移觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行Mogi模型的TLS單一反演和聯(lián)合反演，通過分析發(fā)現(xiàn)，TLS結(jié)果整體上優(yōu)于最小二乘結(jié)果，顧及了線性化以及觀測(cè)等原因帶來的系數(shù)矩陣誤差，參數(shù)結(jié)果更加可信，并且也更加符合其他方法得到的參數(shù)結(jié)果，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的病態(tài)、加權(quán)、非線性及聯(lián)合反演等一系列情況下TLS方法的有效性。

（9）利用Envisat／ASAR雷達(dá)影像處理后獲取的2008－11－10青海大柴旦Mw6.3級(jí)地震InSAR同震形變場(chǎng)數(shù)據(jù)和LN算法反演了觀測(cè)值含有粗差情況下的地震Okada矩形位錯(cuò)模型斷層參數(shù)，斷層深度為19.691 5km，傾角為56.892 3°，長(zhǎng)度為16.499 3km，寬度為6.854 8km，傾滑量為0.832 6m，中心經(jīng)度為95.884 7°，中心緯度為37.529 5°，走向方位角為116.411 5°，相應(yīng)的地震矩為3.108 4×1018N m（Mw6.295 0）。當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，LN算法在1范數(shù)下求解結(jié)構(gòu)總體最小范數(shù)問題可以有效抵抗粗差的干擾，充分利用已有先驗(yàn)信息的同時(shí)顧及了觀測(cè)、線性化等原因引起的系數(shù)矩陣誤差的影響。

Author：WANG Leyang（1983—），male，lecturer.He received his doctorate in Geodesy and Surveying Engineering from School of Geodesy and Geomatics of Wuhan University in 2011.He is interested in geodetic inversion and geodetic data processing.

E－mail：wleyangwhu＠163.com

Research on Theory and Application of Total Least Squares in Geodetic Inversion

WANG Leyang
Faculty of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang330013，China

P207

D

1001－1595（2012）01－0631－01

國(guó)家自然科學(xué)基金及創(chuàng)新群體項(xiàng)目（40874003；40974017；41074007；41021061）；教育部博士點(diǎn)基金（20090141110055）；國(guó)家863計(jì)劃（2009AA12Z317）；國(guó)家公益地震行業(yè)科研專項(xiàng)（200808080）

2011－06－15

王樂洋（1983—），男，講師，2011年6月畢業(yè)于武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，獲大地測(cè)量學(xué)與測(cè)量工程專業(yè)博士學(xué)位（指導(dǎo)教師：許才軍教授）。主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量反演及大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理。