基于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的大地坐標(biāo)系精密計(jì)算理論及其應(yīng)用研究

李厚樸

1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北武漢430033；2.海島（礁）測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266510

基于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的大地坐標(biāo)系精密計(jì)算理論及其應(yīng)用研究

李厚樸1，2

1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北武漢430033；2.海島（礁）測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266510

大地坐標(biāo)系精密計(jì)算往往涉及與參考橢球有關(guān)的各類(lèi)復(fù)雜數(shù)學(xué)分析過(guò)程，以往主要依靠人工推導(dǎo)完成，導(dǎo)出的公式形式較為復(fù)雜，采取的近似處理影響了公式的精度，有的公式表現(xiàn)為具體的數(shù)值形式，僅適用于我國(guó)北京54坐標(biāo)系和西安80坐標(biāo)系下的解算。當(dāng)前我國(guó)已經(jīng)啟用2000國(guó)家大地坐標(biāo)系，給出該基準(zhǔn)下的精密計(jì)算公式以滿(mǎn)足測(cè)量和導(dǎo)航等相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用需求是非常有必要的。本文借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，研究了常用坐標(biāo)系統(tǒng)及其轉(zhuǎn)換、常用緯度、航線、地圖投影及其變換的精確計(jì)算問(wèn)題，導(dǎo)出便于使用和記憶的符號(hào)形式的公式和算法，適用于不同參考橢球下的解算。主要內(nèi)容如下：

（1）將計(jì)算機(jī)代數(shù)分析方法系統(tǒng)地應(yīng)用于大地坐標(biāo)系數(shù)學(xué)分析，提高了分析效率和計(jì)算精度。大地坐標(biāo)系數(shù)學(xué)分析需要處理涉及橢球偏心率的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、橢圓積分、隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)求取等復(fù)雜數(shù)學(xué)分析問(wèn)題。以往主要依靠人工推導(dǎo)完成，導(dǎo)出的公式存在一些小的近似或偏差。本文利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對(duì)上述問(wèn)題重新進(jìn)行了推演和檢核，導(dǎo)出了一些過(guò)去人工推導(dǎo)未能實(shí)現(xiàn)的公式和算法，計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的程序化設(shè)計(jì)語(yǔ)言保證了結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，極大地提高了推導(dǎo)效率。

（2）利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)分析能力，推導(dǎo)和建立了橢球各緯度間正反解變換的符號(hào)表達(dá)式，將以往反解系數(shù)的數(shù)值形式改進(jìn)為橢球偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式。推導(dǎo)出大地緯度、地心緯度和歸化緯度相互變換的展開(kāi)式；推導(dǎo)出等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正解展開(kāi)式，糾正了傳統(tǒng)正解公式系數(shù)高階項(xiàng)中存在的偏差；分別采用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法、Hermite插值法和Lagrange級(jí)數(shù)法推導(dǎo)出形式一致、展開(kāi)式系數(shù)完全相同的等距離緯度、等角緯度和等面積緯度反解展開(kāi)式。上述各類(lèi)展開(kāi)式均為正弦函數(shù)的倍角形式，展開(kāi)式系數(shù)為橢球第一偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式，并且擴(kuò)展至e10，給出了我國(guó)常用大地坐標(biāo)系下展開(kāi)式的系數(shù)值，設(shè)計(jì)算例分析了展開(kāi)式的精度。

（3）以緯度正反解符號(hào)表達(dá)式為基礎(chǔ)，改進(jìn)航海導(dǎo)航領(lǐng)域常用航線的數(shù)學(xué)表示形式，實(shí)現(xiàn)了各類(lèi)航線的精確計(jì)算。研究了Bessel大地主題的精確解算問(wèn)題，推導(dǎo)出大地線長(zhǎng)和球面弧長(zhǎng)、橢球面經(jīng)差和球面經(jīng)差的關(guān)系式，將公式系數(shù)分別展至e8，提高了公式的計(jì)算精度；在此基礎(chǔ)上，給出了一般情況下Bessel大地主題正解的直接解法和反解的迭代解法，研究了特殊情況下的大地主題正反解，探討了Bessel大地主題反解的非迭代解法。改進(jìn)了計(jì)算導(dǎo)航大地線長(zhǎng)的大橢圓法，解決了顧及高程時(shí)兩點(diǎn)間大地距離的計(jì)算問(wèn)題，推導(dǎo)出以地心緯度為變量的子午線弧長(zhǎng)公式，簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)大橢圓法的計(jì)算過(guò)程；通過(guò)構(gòu)造過(guò)具有兩已知點(diǎn)平均高程的點(diǎn)且與原橢球相似的新橢球，將兩已知點(diǎn)歸化到該橢球上，利用Andoyer－Lambert公式和大橢圓法計(jì)算新橢球上兩點(diǎn)間的大地距離，解決了具有高程的兩點(diǎn)間大地距離的精確計(jì)算問(wèn)題。研究了大圓航線、大橢圓航線和恒向線的計(jì)算問(wèn)題，給出了大圓航線的初始航向角、航程和各分點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式；顧及旋轉(zhuǎn)橢球的對(duì)稱(chēng)性，采用空間向量分析的方法推導(dǎo)出了大橢圓航線初始航向角和各分點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式；分析了傳統(tǒng)墨卡托航法和傳統(tǒng)中分緯度航法存在的缺陷，對(duì)其數(shù)學(xué)公式進(jìn)行了重新設(shè)定，得到了改進(jìn)的墨卡托航法和改進(jìn)的中分緯度航法，提高了航跡計(jì)算精度。

（4）建立正軸圓柱投影和正軸圓錐投影的直接變換模型，避免過(guò)去間接變換導(dǎo)致的誤差。推導(dǎo)出子午線弧長(zhǎng)、等量緯度和等面積緯度函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式，將展開(kāi)式系數(shù)統(tǒng)一表示為橢球第一偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式。在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地建立了正軸圓柱投影間、正軸圓錐投影間以及正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型。與傳統(tǒng)變換公式相比，這些變換模型形式更為簡(jiǎn)單，計(jì)算更為精確。

（5）以復(fù)變函數(shù)為基礎(chǔ)，建立高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影及變換的復(fù)變函數(shù)表示形式。將子午線弧長(zhǎng)和等量緯度變換的直接展開(kāi)式拓展至復(fù)數(shù)域，推導(dǎo)出復(fù)變函數(shù)表示的高斯投影正反解非迭代公式，給出墨卡托投影和等角圓錐投影正反解的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影間變換的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式。與傳統(tǒng)實(shí)數(shù)變換公式相比，這些復(fù)數(shù)公式形式更為簡(jiǎn)單，理論更為嚴(yán)密。

E－mail：lihoupu1985＠126.com

The Research on the Precise Calculation Theory of Geodetic Coordinate System Based on Computer Algebra System and Its Application

LI Houpu1，2
1.Department of Navigation，Naval University of Engineering，Wuhan430033，China；2.Key Laboratory of Surveying and Mapping Technology on Island and Reef，National Administration of Surveying，Mapping and Geoinformation，Qingdao 266510，China

his doctorate in navigation，guidance and control from Naval University of Engineering in December 2010.His research interests include geodesy and satellite navigation.

P226

D

1001－1595（2011）05－0630－01

國(guó)家自然科學(xué)基金（40774002；40904018）；海島（礁）測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金（2010B04）

2011－01－18

李厚樸（1985—），2010年12月獲海軍工程大學(xué)導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制專(zhuān)業(yè)博士學(xué)位（指導(dǎo)教師：邊少鋒教授）。主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量與衛(wèi)星導(dǎo)航。

Author：LI Houpu（1985—），he