對《用中學物理方法巧解一道大學物理習題》的再思考

王鶴新

（江陰市第一中學 江蘇 無錫 214400）

1 問題的由來

文獻［1］中有一篇題為《用中學物理方法巧解一道大學物理習題》的文章，以下簡稱原文，引發(fā)了筆者的一些思考．

原文題目：有一密度為ρ的均勻細棒，長度為l，其上端用細線懸著，下端緊貼著密度為ρ0的液體表面．現(xiàn)將懸線剪斷，求細棒在恰好全部沒入液體中時的沉降速度．設液體沒有粘性．

2 原文的解答

思路一：大學物理解答如下：在下落過程中，細棒只受到兩個力：向下的重力mg和向上的浮力F?。渲懈×κ莻€變力，當棒的浸沒長度為x時，F(xiàn)?。溅?xg S（S為細棒截面積），取豎直向下為x軸的正方向，如圖1所示．

圖1

根據(jù)牛頓第二定律

兩邊分別乘以d x可變成

兩邊積分這是原題給出的結果．

思路二：引入浮力勢能：考慮到細棒下落過程中所受浮力F?。剑?xgS與彈力F＝－κx的大小和方向相似，類似彈性勢能引入浮力勢能的概念，以方便問題的處理．本題可以理解為隨著細棒的下落．浮力做負功，浮力勢能將增加．下落過程的能量關系是重力勢能轉(zhuǎn)化為浮力勢能與動能，而浮力勢能的數(shù)學表達式是，當細棒在恰好全部沒入液

體中時，代入x＝l，根據(jù)能量守恒得

其中

最后求得

3 引發(fā)的思考

3． 1 動能定理求解

原文出現(xiàn)在“問題討論”這一欄目，重在用中學物理方法巧解．既然用中學物理方法，那么該種物理方法一定符合中學生的知識結構與認知規(guī)律；同時也應該具有普遍性的特點．換個角度思考：如果該題作為考試試題的話，中學生中一定會有不少的同學解答出來．而且相信解答出來的學生大部分解法如下．

思路三：處理物理問題的三種基本思路：力、能量、動量．三種基本思路中力是最基本的．細棒在下沉的過程中重力無需研究．所以只需研究浮力的特點．然后會發(fā)現(xiàn)它是個變力，究竟怎么變，才能決定采取具體的處理方法．設細棒沉浸液體中任意長度x時，細棒所受浮力F?。溅?gSx，不難發(fā)現(xiàn)任意時刻F浮與細棒發(fā)生的位移x之間成線性關系，因為浮力做的功可以用平均力來計算．

對細棒整個運動過程應用動能定理，有

當然對整個過程運用動能定理也是水到渠成的事情．浮力F浮的性質(zhì)比較特殊，F(xiàn)浮與細棒發(fā)生的位移x之間成線性關系．像符合這種特點的力的花樣題目相信在各個學校應該接觸的比較多，例如：彈簧的彈力作功問題．所以學生必定具備解答的能力．

3． 2 定積分求解

在思路三中，從最基本的力的角度可以發(fā)現(xiàn)浮力是變力，題目中也是求速度v，學生也容易把思維定位到研究過程中運動的具體性質(zhì)，研究加速度a的變化情況，發(fā)現(xiàn)a變化，也就容易聯(lián)系到微積分．其實原文題目已經(jīng)出現(xiàn)在高中競賽題中，另外各省市的數(shù)學高考要求不同，有的省市早已把大學內(nèi)容定積分列入高中數(shù)學高考必考部分，所以部分中學生已經(jīng)具有較高的應用數(shù)學方法處理物理問題的能力．即使有的省市不列入高考必考范圍內(nèi)，但是對于一些中高檔次的學校也是作為競賽中、或者普通的方法介紹給學生．現(xiàn)在高考命題對于學生應用數(shù)學方法處理物理問題的能力要求越來越高，不管情況如何，個人還是建議教師可以把定積分的思想方法介紹給學生，再者在模擬題中已經(jīng)不時的在滲透著微積分思想．

【例1】如圖2所示，兩根相距為d足夠長的光滑平行金屬導軌位于水平的x Oy平面內(nèi)，導軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側(cè)存在垂直紙面向里的磁場，金屬棒質(zhì)量為m，電阻為r，與金屬導軌垂直放置，且接觸良好．開始時，金屬棒位于x＝0處，現(xiàn)給金屬棒一大小為v0、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導軌滑動，金屬導軌電阻可忽略不計．若導軌間的磁場是非勻強磁場，磁感應強度B沿x軸正方向增加，且大小滿足B2＝kx，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

圖2

解析：

在解答出來該題的學生中，運用積分處理問題的同學還是占有一定比例的．上面積分和動能定理兩種思路應該詳細、重點地介紹給學生．

3． 3 問題分析

原文中用類比方法通過浮力與彈力的類比，引入浮力勢能的概念，是一種很巧妙的思維方法，同時也拓展了學生的思路．但是該種思維方法具有特殊性，思維方法越特殊，那么對于中學生的能力要求也就越高．也就說該種題目作為試題的話，在解答出的學生中是占的比例也不高．原文解答中機械能守恒的研究對象也沒有講清楚．浮力勢能概念本身并不重要，但是類比的思想和創(chuàng)新精神值得學習．

3． 4 高考展望

高考命題以能力立意為主，所以現(xiàn)在有些大學物理與高考物理之間的界限越來越模糊．大學物理建立在高等數(shù)學的基礎上追求定量計算；高中階段由于數(shù)學能力的限制，追求的是定性分析．命題專家就以中學物理知識為儲備、大學物理為背景研究出了一些新穎題目．

圖3

【例2】如圖3，一不可伸長的輕質(zhì)細繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A和B．若滑輪有一定大小，質(zhì)量為m且分布均勻，滑輪轉(zhuǎn)動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的磨擦．設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個關于T1的表達式中有一個是正確的，請你根據(jù)所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是

解析：如果要定量計算的話，會牽涉到大學中的轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律等概念．但是這不是命題專家們的立意．命題考查的是能力．怎么處理呢？

極限法：假設滑輪的質(zhì)量m＝0；問題的還原：質(zhì)量為m1的A與質(zhì)量為m2的B構成的簡單的連接題：設m1＜m2

令A，B，C，D答案中的m＝0，只有選項C符合條件．故本題答案為選項C．

1 張曉森．用中學物理方法巧解一道大學物理習題．物理教師，2011（1）：32