用反圓環(huán)面刀加工變曲率過渡曲面原理

黃 魏 陳志同 陳五一 賀 英

(北京航空航天大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，北京 100191)

過渡曲面用來連接零件上相鄰兩個曲面，以實現(xiàn)曲面間的光滑過渡.文獻［1］認為處理相交曲面在相交棱邊處的等半徑過渡曲面與數(shù)控加工中曲面間過渡區(qū)域的生成機理是一致的.事實上，工程中經(jīng)常遇到變曲率過渡曲面(也稱為變半徑過渡曲面)，它的加工十分復(fù)雜.葉片進排氣邊就是一種變曲率過渡曲面.

葉片是航空發(fā)動機中的關(guān)鍵零件，其工作性能對發(fā)動機的總體工作性能具有重要影響，而葉片進排氣邊的形狀和精度是決定葉片氣動和熱傳導(dǎo)性能的關(guān)鍵因素之一［2］.進排氣邊曲率半徑小、變化范圍大，在空間扭曲嚴重，因此加工難度很大.目前多采用球頭刀或圓環(huán)面刀按螺旋線掃描方式進行葉片進排氣邊的精加工，并提出了相應(yīng)的螺旋線刀軌規(guī)劃算法［3－5］.這些算法的優(yōu)點是可以實現(xiàn)葉片不同部位的光滑銜接，加工過程中刀軌連續(xù)且只需一次進退刀.文獻［6］指出刀具的最佳走刀方向應(yīng)沿著最小主曲率方向，采用螺旋線加工方式很難使葉盆葉背和進排氣邊同時滿足這一要求，而且加工進排氣邊時，曲面的法矢會旋轉(zhuǎn)180°左右，會導(dǎo)致機床在很大的加速度下做進給運動，不僅會顯著降低機床在該區(qū)域的插補運動精度，還極易引起工藝系統(tǒng)的顫振.此外由于葉片很薄，厚度方向的切削力使螺旋加工在此處很容易導(dǎo)致葉片變形，并出現(xiàn)過切現(xiàn)象［7］.為此，文獻［8］提出將進排氣邊單獨加工的方法，該方法使用球頭刀沿橫向往復(fù)加工進排氣邊，可以解決過切現(xiàn)象，但球頭刀加工效率較低.20世紀50年代，前蘇聯(lián)曾采用一種進排氣邊與葉盆葉背分別磨削的方法［9］，這種方法可充分提高各個區(qū)域的加工效率，并通過改善支撐系統(tǒng)提高工藝系統(tǒng)剛性.文獻［10－11］指出刀具為凸集，沒有考慮到凹形刀具在加工凸曲面時的優(yōu)勢.常用的CAM軟件也不具備創(chuàng)建凹形刀具的功能.文獻［12］最早提出按照曲率吻合原則來規(guī)定刀具與工件的相對位置，實現(xiàn)較好的加工效果.根據(jù)文獻［13］提出的廣域曲率吻合原則，如果刀具包絡(luò)面與工件曲面在每個瞬時接觸線上凹凸性相反，并且刀具包絡(luò)面與工件曲面在每個瞬時接觸線上曲率半徑盡量相等，則會得到更大的有效行寬.文獻［14］也指出，凹半徑銑刀非常適合加工至少一個方向為凸的曲面，但是文章并沒有提出具體的實現(xiàn)方法和理論依據(jù).因此本文研究反圓環(huán)面刀加工葉片進排氣邊的基本原理和方法，并用最短距離線對原理分析誤差分布，為葉片進排氣邊的精密銑削乃至磨削加工提供一條新途徑.

1 凹圓環(huán)面刀具加工的幾何模型

圓以所在平面內(nèi)一條與其不相交的直線為軸線旋轉(zhuǎn)一周形成圓環(huán)面.以母圓上任意一段圓弧對應(yīng)的回轉(zhuǎn)面作為刀具工作面，若刀具工作面上任意一點指向空域的法線遠離對應(yīng)母圓的圓心，則稱這種刀具為圓環(huán)面刀;反之，若指向空域的法線靠近對應(yīng)母圓的圓心，則稱這種刀具為反圓環(huán)面刀.

圖1a中，Sw和St分別為工件設(shè)計曲面和刀具工作面，二者相切于工件設(shè)計曲面上的p點.如圖1b所示，在笛卡爾坐標系中，St1(xt1，yt1，zt1)為原點位于刀具底部中心的刀具坐標系，Ta，Tc分別為刀具的刀心矢量和刀軸單位矢量，Γ為xt1-zt1坐標平面第1象限上的圓弧母線，q0為母線上一選定點，其在St1上的坐標為分別為該點的單位切矢量和單位內(nèi)法矢量，t為與刀軸矢量T的夾角.以q為坐標系原點，以a0軸，為 zt2軸建立刀具局部坐標系.設(shè) q1為刀具母圓上任意點，該點與xt1軸的夾角為α，q2為q1繞zt1軸旋轉(zhuǎn)β所得到的刀具曲面上的任意點.刀具的幾何參數(shù)如圖1b所示，刀具外半徑為R，母線圓弧半徑為r，張角為φ，圓弧母線下端點距刀具底面距離為h0.

圖1 刀具和工件的接觸狀態(tài)及基本定義

如圖1a 所示，設(shè) Sw1(xw1，yw1，zw1)為工件坐標系，設(shè)為曲面Sw上點p沿進給方向的單位切矢量為p點的單位法矢量，令則構(gòu)成 p點的工件局部坐標系.令 Sw2繞旋轉(zhuǎn) θ得到工件局部動坐標系 Sw3(xw3，yw3，zw3).St2與 Sw2重合即可得到一個刀位.

2 刀具及其位姿的表達

2.1 刀具上一點在S t2上的表達

根據(jù)圖1b，刀具上任意點q2的坐標為

利用坐標變換可求得點q2在St2下的坐標為

2.2 刀具上點及刀具位姿在S w1上的表達

令St2與 Sw3重合，根據(jù) Sw1中的矢量，容易得到刀具上一點q2在Sw3上的表達為

根據(jù)式(3)，刀具的位姿可用Tc和Ta在Sw1下的坐標唯一表示成

3 反圓環(huán)面刀具寬行加工的原理

定半徑圓弧母線刀具沿直線或空間曲線作平移與旋轉(zhuǎn)的復(fù)合運動時其包絡(luò)面的截形不斷變化，因此可以使刀具包絡(luò)截形的曲率半徑接近任意位置工件截形的曲率半徑，從而大幅度提高加工效率.

下面進行簡要證明.設(shè)工件曲面為半徑為r'(r'＜ r)的圓柱面，其軸線沿 Sw1(xw1，yw1，zw1)的yw1軸方向;刀軸矢量位于y-z平面內(nèi)，刀具相對zw1軸擺角θ后刀具與工件相切于p點，且切點沿yw1向運動，現(xiàn)推導(dǎo)其包絡(luò)面方程.

如圖2所示，刀具工作面上任一點q0的外法矢量為

圖2 反圓環(huán)面刀具與圓柱工件表面的包絡(luò)關(guān)系

刀具上任意點沿yw1軸正向移動，則各點的運動速度方向為

根據(jù)包絡(luò)理論應(yīng)有

圖2所示的曲線C1即為式(7)所描述的St1下的刀具工件嚙合特征線，而C2為C1到工件曲面距離最短的曲線.它們之間構(gòu)成了刀具與工件曲面間的最短距離線對.

將式(7)向 Sw1(xw1，yw1，zw1)的 xw1-zw1面投影可得到刀具包絡(luò)面的正截形，由于平移不改變投影形狀和大小，可略去式(7)中p點在Sw1中的位置矢量.可得到

當取 R=5mm，r=1mm，θ=0，5，15，20°時，包絡(luò)面的正截形和刀具兩端截面線如圖3實線所示.可見，截型線可以很好地逼近半徑分別為1.0，0.96，0.62 和 0.33mm 的圓弧.θ值越大，可逼近的圓弧半徑越小.

圖3 刀具包絡(luò)面的正截形仿真計算結(jié)果

進排氣邊可以看成錐度不斷改變的一個變錐面.根據(jù)以上分析結(jié)果，利用調(diào)整刀具擺角可以實現(xiàn)進排氣邊的寬行包絡(luò)加工.

4 刀具參數(shù)及刀具位姿的優(yōu)化模型

4.1 誤差分布函數(shù)及加工行寬的計算

如圖4所示，用M個平行刀具底面的截平面按弧度步長Δφ將刀具工作面劃分成M條緯線Gi(i=1，2，…，M)，緯線上的點繞刀軸在 Ω 范圍內(nèi)按弧度步長ΔΩ離散成N個點，編號為j(j=1，2，…，N).則離散點可以表示為 q2i，j.求第 i條緯線上到工件曲面上距離最小的點q2imin，并記其在工件上的垂足為pimin.分別連接所有q2imin和所有pimin得到的曲線Ctmin和Cwmin分別稱為刀具上的最短距離線和工件上的最短距離線，它們分別是特征線C1和垂足線C2的近似表達.對應(yīng)點之間的距離分布δimin(i=1，2，…，M)稱為誤差分布函數(shù)δ，即

圖4 刀具的離散

從切觸點q0向兩側(cè)各尋找第1個誤差大于編程控制誤差Δ的點pamin和pbmin，則該刀位上的刀位參數(shù)域行寬wp(uv)可表示為

步驟7 標準突變操作。依次判斷各棲息地，隨機產(chǎn)生Kmu，Kmu∈{1,2,3}，若rand

設(shè)沿著曲面的參數(shù)線走刀，比如u(或v)參數(shù)線，則某刀位處誤差曲線的兩個端點對應(yīng)工件曲面上點的v(或u)參數(shù)值之差的絕對值稱為該刀位的參數(shù)行寬.

4.2 刀具參數(shù)及刀位的優(yōu)化模型

將滿足條件式(10)的行寬稱為有效行寬.對于給定的加工曲面Sw和編程控制誤差Δ，理論上，給定刀具幾何參數(shù)時單個刀位點的最大行寬wpmax、給定刀具幾何參數(shù)時一行刀軌的最大行寬wrmax和優(yōu)化刀具參數(shù)時一行刀軌的最大行寬womax可分別表示為

式中，Ω1為刀具與工件不發(fā)生干涉時切觸點c和擺角θ的范圍;Ω2為一行刀軌的u或v參數(shù)的離散范圍;vpl，vpr為一個刀位處行寬的左右邊界;Ω3為刀具幾何參數(shù)R，r，φ的可取范圍.

4.3 刀具幾何參數(shù)對加工行寬的影響

以某葉片為例，分析了刀具幾何參數(shù)對加工行寬的影響規(guī)律.

4.3.1 r與 womax關(guān)系

根據(jù)葉片進排氣邊Sw橫截面曲率半徑范圍Rs∈(0.3mm，1.0mm)，顯然有 r≥1.0mm.為使刀具工作面與工件曲面更加貼合，取r=1.0mm最為合適.

4.3.2 φ 與 womax關(guān)系

刀具工作面應(yīng)為開敞的曲面，因此弧度范圍應(yīng)滿足0＜φ≤π.當?shù)毒邤[角大于某臨界值時，刀具工作面的包絡(luò)一部分或全部由母圓端點所在的截面線形成，此時不能包絡(luò)出有效的工件表面，即產(chǎn)生干涉.發(fā)生干涉時，包絡(luò)面的正截形邊緣出現(xiàn)自相交，形成封閉區(qū)域.

取 r=1.0mm，R=5mm，在 u=0.3 參數(shù)線上，計算不同φ值下的最大行寬womax得到圖5.

圖5 刀具母線圓弧角度φ與w omax關(guān)系

由圖5可以看出，當φ在90°附近處，womax達到最大值，因此取φ=90°作為刀具母線圓心角.此時womax可超過0.5，因此理論上進氣邊或排氣邊只需2行刀軌即可加工完成.當擺角θ變大時可能會發(fā)生干涉，而且φ越大，不發(fā)生干涉的最大θ角越小.

4.3.3 R 與 womax關(guān)系

取 φ =90°，r=1.0mm，沿著 u=0.5 的參數(shù)線走刀，在R∈(2mm，30mm)范圍內(nèi)得到的R與womax關(guān)系如圖6所示.可見，行寬在某值附近波動，而且波動范圍很小，womax∈(0.475，0.531)，對加工行寬的影響可以忽略，波動是由于離散點計算方式所致.而隨著R的增大，擺角θ的臨界值逐漸減小.在 u=0.5，v=0.5 處，得到的 R 與最優(yōu)θ的關(guān)系如圖6所示.

圖6 R與 w omax，θ關(guān)系

4.4 刀具位姿參數(shù)對加工行寬的影響

4.4.1 θ與 wpmax關(guān)系

φ取不同值得到的θ與有效行寬womax之間的關(guān)系是一致的.在此，取 R=5mm，r=1mm，φ=π/3，c為刀具母線的中點.在 u=0.5，v=0.5 處，得到的θ與wpmax之間的關(guān)系如圖7所示.

圖7中，行寬隨|θ|的增大而增大，當大于某一值后，行寬變?yōu)?表示發(fā)生過切.圖7中曲線并不嚴格關(guān)于0°對稱，左右極值也不相等，主要是由于進排氣邊在空間中扭曲所致.有效帶寬的最大值發(fā)生在有無干涉的臨界值附近，因此可以用二分法找到這個臨界值作為最優(yōu)擺角.

4.4.2 c與 wpmax關(guān)系

當θ≠0時，由于進排氣邊的曲面截面線曲率半徑變化，刀具與工件間的誤差分布在u方向上不對稱，因此c應(yīng)在刀具母線的中點略偏的位置.當取 R=5mm，r=1mm，φ=π/3時，在 u=0.5，v=0.5處，c的位置與加工行寬之間的關(guān)系如圖8所示.c的最優(yōu)位置可以通過對母線的中點周圍的離散點遍歷的方式搜索得到.

圖7 θ與加工行寬的關(guān)系

圖8 刀具切觸點位置c的離散序列與加工行寬的關(guān)系

4.5 優(yōu)化后的刀具幾何參數(shù)和刀軌生成

根據(jù)上述比較結(jié)果和驗證實驗的硬件條件，取R=6mm，根據(jù) Rs范圍，取 r=1mm，φ=π/2.

經(jīng)試算取進氣邊第1，2行刀軌驅(qū)動參數(shù)線分別為u=0.27，0.68，兩行刀軌有效行寬即可覆蓋整個曲面.優(yōu)化計算后的刀軌如圖9所示.如果使用球頭刀具加工進排氣邊，用UG計算需要12行刀軌，因此加工效率比球頭刀高5倍.

圖9 進氣邊加工刀軌

5 加工驗證

實驗在3MK5030型五軸機床上用銑削方式進行.葉片毛坯材質(zhì)為鋁.刀具采用整體硬質(zhì)合金銑刀.切深約為1mm，主軸轉(zhuǎn)速S=3000 r/min，進給速率vf=1 000mm/min.加工后的曲面光滑平整，兩行刀軌之間圓滑銜接，如圖10所示.

圖10 加工后表面質(zhì)量

在v=0.1與v=0.9處用線切割加工得到的截面形狀在顯微鏡下的觀察結(jié)果見圖11.加工后的進氣邊圓度較高，與葉盆葉背的連接較好.

圖11 加工后截面形狀(單位:mm，比例:17∶1)

6 結(jié)論

本文提出了一種利用反圓環(huán)面刀具縱向精加工過渡曲面的方法，分析了刀具幾何參數(shù)和位姿對加工行寬的影響規(guī)律，提出了刀具幾何參數(shù)選擇的基本原則.利用C語言開發(fā)了計算程序.在五軸機床上成功進行了實驗.

致謝 本文的研究基于張洪教授最先提出的用反圓環(huán)面刀加工變曲率過渡曲面的思想，特此感謝張洪教授對本文的悉心指導(dǎo).

References)

［1］周濟，周艷紅.數(shù)控加工技術(shù)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2002:46－47 Zhou Ji，Zhou Yanhong.Technology of NC machining［M］.Beijing:National Defence Industry Press，2002:46 － 47(in Chinese)

［2］ Hamakhan IA，Korakianitis T.Aerodynamic performance effects of leading-edge geometry in gas-turbine blades［J］.Applied Energy，2010，87(5):1591 －1601

［3］ Kim B H，Choi B K.Guide surface based tool path generation in 3-axismilling:an extension of the guide plane method［J］.Computer Aided Design，2000，32:191 －199

［4］ Lee E.Contour offset approach to spiral tool path generation with constant scallop height［J］.Computer Aided Design，2003，35:511－518

［5］ Sun YW，Guo DM，Jia ZY.Spiral cutting operation strategy for machining of sculptured surfaces by conformal map approach［J］.Journal of Material Process Technology，2006，180:74 －82

［6］ Kruth P，Klewais JP.Optimization and dynamic adaptation of the cutter inclination during five-axis milling of sculptured surfaces［J］.CIRP Annals，1994，43(1):443 －448

［7］ Shan CW，Zhang D H，Liu W W，et al.A novel spiral machining approach for blades modeled with four patches［J］.Internal Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，43:563 －572

［8］ You C F，Sheen B T，Lin T K.Robust spiral tool-path generation for arbitrary pockets［J］.Internal Journal of Advanced Manufacturing Technology，2001，17:181 －188

［9］伊宗МX.燃氣渦輪發(fā)動機葉片的機械加工［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1965 Yi Zong M X.Machining of gas twrbine engine blades［M］.Beijing:Natinal Defence of Industry Press，1965(in Chinese)

［10］ Chiou C J，Lee Y S.A shape-generating approach for multi-axis machining G-buffer models［J］.Computer-Aided Design，1999(31):761－776

［11］ Yoon Jounghahn，Pottmann Helmut，Lee Yuanshin.Locally optimal cutting positions for 5-axis sculptured surface machining［J］.Computer-Aided Design，2003，35:69 － 81

［12］張洪.從增大行距寬度減小波紋度的角度看型面加工發(fā)展的方向［D］.北京:北京航空學(xué)院制造工程系，1982 Zhang Hong.Observing the development of machining sculptured surfaces from the perspective of increasing strip width and decreasing waviness［D］.Beijing:Manufacturing Engineering Department，Beijing Institute of Aeronautics，1982(in Chinese)

［13］呂雪麗，張洪.廣域曲率吻合原則與復(fù)雜曲面數(shù)控加工的全面優(yōu)化［J］.機械設(shè)計與制造，2003，10(5):94 －96 Lü Xueli，Zhang Hong.Principle of global curvature fitting and global optimization of sculptured surface NC machining［J］.Machinery Design and Machining，2003，10(5):94 － 96(in Chinese)

［14］ Yu Guang.General tool correction for five-axis milling［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，1995，10(5):374 －378