模糊線性微分系統(tǒng)的近似解析解

王 磊

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧葫蘆島 125105；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新 123000）

由于在社會(huì)科學(xué)以及工程領(lǐng)域的運(yùn)動(dòng)問題研究中模糊性的大量存在，模糊微分方程的研究越來越受到關(guān)注［1－5］。而模糊線性微分系統(tǒng)（模糊微分方程組）的研究則是近幾年被提出的［6］；文獻(xiàn)［7］利用λ－水平截集研究模糊線性微分系統(tǒng)初值問題；文獻(xiàn)［8］從測度論的角度研究了一階模糊線性微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)［9－10］將λ－水平截集表示成復(fù)數(shù)，從而把模糊線性微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成經(jīng)典的常微分線性系統(tǒng)，分別研究了模糊初值和系數(shù)矩陣為模糊矩陣2種情形下系統(tǒng)的解；文獻(xiàn)［11］利用一種新的擴(kuò)展原理研究了一階微分方程組模糊初值問題；文獻(xiàn)［12］利用特征值和特征向量法研究了由結(jié)構(gòu)元法線性生成的模糊線性微分系統(tǒng)的解析解。

以上方法都是求模糊微分系統(tǒng)的解析解，然而由微分方程理論可知只有少數(shù)的微分系統(tǒng)才有解析解，所以有必要研究模糊微分系統(tǒng)的近似解析解。因此，本文利用結(jié)構(gòu)元方法將模糊微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成分明的線性微分系統(tǒng)，進(jìn)而利用變分迭代法［13－14］給出方程的近似解析解。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集，若隸屬函數(shù)E（z），z∈R滿足：①E（0）＝1；②在區(qū)間［－1，0）上E（z）是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1］上是單降左連續(xù)函數(shù)；③ 當(dāng)－∞＜z＜－1或 1＜z＜＋∞時(shí)，E（z）＝0，且E（－z）＝E（z），稱E為R上的對(duì)稱模糊結(jié)構(gòu)元［15］。

定理1 設(shè)E是R上的任意模糊結(jié)構(gòu)元，又設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［－1，1］上是單調(diào)有界的，＾f（t）是f（t）的延拓集值函數(shù)，則＾f（E）是R上有界閉模糊數(shù)，且＾f（E）的隸屬函數(shù)為E（f－1（t）），這里f－1（t）是f（t）關(guān)于變量t和y的輪換對(duì)稱函數(shù)（若f（t）是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f－1（t）是f（t）的反函數(shù)）［15］。

定義2 設(shè)二元函數(shù)g（t，y）＝f（t）＋ω（t）y，其中f（t）和ω（t）在T?R上有界，且ω（t）非負(fù)，易知函數(shù)g（t，y）關(guān)于y在［－1，1］上單調(diào)有界，對(duì)于給定的對(duì)稱結(jié)構(gòu)元E，稱（1）式為模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的關(guān)于變量t的模糊值函數(shù)［15］，即

對(duì)于給定t∈T，f（t）和ω（t）≥0都為常數(shù)，則（1）式為由模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊數(shù)。

定理2 設(shè)模糊值函數(shù)~x（t）由對(duì)稱模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成，即~x（t）＝f（t）＋ω（t）E，且ω（t）非負(fù)，若函數(shù)f（t）和ω（t）可導(dǎo)［15］，則

定理2表明，對(duì)于模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊值函數(shù)~x（t），其導(dǎo)函數(shù)也是由結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊值函數(shù)。

2 模糊線性微分系統(tǒng)的變分迭代法

2.1 線性生成的模糊線性微分系統(tǒng)

線性微分系統(tǒng)：

其中，A＝（aij）n×n∈Rn×n；），…，。

其中，ui（t）、vi（t）為未知函數(shù)，且vi（t）≥0，有

將方程（4）、（5）帶入系統(tǒng)（3），得2個(gè)分明的線性微分系統(tǒng)：

和

其中，c＝（c1，c2，…，cn）T；d＝（d1，d2，…，dn）T；A′＝（a′ij）n×n（i，j＝1，2，…，n）；ω（t）＝（ω1（t），ω2（t），…，ωn（t））T；φ（t）＝（φ1（t），φ2（t），…，φn（t））T，且

于是，系統(tǒng)（3）的求解便轉(zhuǎn)化為對(duì)分明的線性微分系統(tǒng)（6）和（7）的求解，文獻(xiàn)［12］利用特征值和特征向量法［9］給出了系統(tǒng)（6）和（7）的解。然而，大多數(shù)微分方程往往很難或不可能獲得其解析解，有時(shí)即使能求出解析解，也因表達(dá)式過于復(fù)雜而不實(shí)用，因此下面利用變分迭代法給出系統(tǒng)（6）和（7）的近似解析解。

2.2 分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代法

為了說明變分迭代算法［13－15］的基本思想，考慮如下的非線性方程：

其中，L為線性算子；N為非線性算子；g（t）為已知的連續(xù)函數(shù)。利用變分迭代算法的思想為（9）式構(gòu)造一個(gè)校正泛函如下：

其中，λ為廣義拉氏乘子，可用變分理論最佳識(shí)別；un（t）為初始近似解（可以包含待定常數(shù)或待定函數(shù)）為限制變分量，即＝0。

下面給出如下的一階分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代算法：

其中，y（t）＝（y1（t），y2（t），…，yn（t））T；g（t）＝（g1（t），g2（t），…，gn（t））T；B＝（bij）n×n∈Rn×n?？紤]系統(tǒng)（11）的第i個(gè)方程：

構(gòu)造校正泛函如下：

其中，yi，n（t）表示第i個(gè)方程的第n次近似解。令上述校正泛函取駐值，有

于是，得駐值條件：

由常微分方程理論，廣義拉氏乘子λi可識(shí)別為：

于是系統(tǒng)（11）的第i個(gè)方程的近似解表示為：

令i＝1，2，…，n，得系統(tǒng)（11）近似解的變分迭代算法的矩陣為：

其中，Λ＝diag［b11，b22，…，bnn］。

于是，根據(jù)算法（18）求得系統(tǒng)（6）和（7）的近似解，進(jìn)而求得原模糊系統(tǒng)（3）的模糊近似解。

3 算 例

例1 考查如下的模糊線性微分系統(tǒng)：

其中，E為三角模糊結(jié)構(gòu)元。

解 根據(jù)前面討論，系統(tǒng)（19）可轉(zhuǎn)化為：

利用特征值和特征向量法［9］得系統(tǒng)（20）和（21）的解析解為：

于是系統(tǒng)（19）的模糊解為：

根據(jù)（18）式的變分迭代算法，進(jìn)行6次迭代計(jì)算得系統(tǒng)（20）和（21）的近似解為（25）式、（26）式。其中分別表示u1（t）、u2（t）、v1（t）、v2（t）的近似值。

于是系統(tǒng)（19）的模糊近似解為（17）式。

取t∈［0，1］，近似解與精確解的誤差見表1所列。其中，u1（t）與（t）的誤差采用的計(jì)算公式為，其余類似。表1中的誤差反映出逼近效果較好。

表1 近似解與精確解的誤差

將t∈［0，1］進(jìn)行10等分，圖1a給出了近似解＾u1（t）、＾u2（t）和精確解u1（t）、u2（t）的比較，圖1b給出了＾v1（t）、＾v2（t）和v1（t）、v2（t）的比較，反映出逼近效果較好，說明了變分迭代法的有效性。

圖1 例1近似解與精確解比較

例2 考察下面的捕食者－獵物模型［13］：

其中，E為三角模糊結(jié)構(gòu)元。

解 利用特征值和特征向量法［9］得解析解：

由（18）式的變分迭代算法，進(jìn)行6次迭代計(jì)算得近似解為（31）式、（32）式。將t∈［0，1］進(jìn)行10等分，圖2給出了近似解和精確解的比較，進(jìn)一步說明了變分迭代法的有效性。

圖2 例2近似解與精確解比較

4 結(jié)束語

本文利用結(jié)構(gòu)元方法將模糊線性微分系統(tǒng)的模糊初值問題轉(zhuǎn)化成同解的分明線性微分系統(tǒng)的值問題，構(gòu)造了求解分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代法，給出了模糊線性微分系統(tǒng)的模糊近似解。實(shí)際計(jì)算中可根據(jù)逼近精度需要選擇迭代次數(shù)。

［1］ Wu C X，Song S J.Existence and uniqueness of solutions to the Cauchy problem of fuzzy differential equations［J］. Fuzzy Sets and Systems，2000，110：55－67.

［2］ Bede B，Rudas I J，Bencsik A L.First order linear fuzzy differential equations under generalized differentiability［J］. Information Sciences，2007，177（7）：1648－1662.

［3］ Misukoshi M，Chalco－Cano Y，Rom＇an－Flores H，et al. Fuzzy differential equations and the extension principle［J］. Information Sciences，2007，177：3627－3635.

［4］ 王 磊，郭嗣琮.一階線性模糊微分方程的解［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2011，25（3）：113－118.

［5］ 王 磊，郭嗣琮.一階線性模糊微分方程的模糊結(jié)構(gòu)元解法［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，34（10）：1576－1579.

［6］ Seikkala S，Vorobiev D.Towards the theory of fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，2002，125：231－237.

［7］ Buckley J J，F(xiàn)euring T，Hayashi Y.Linear system of first order ordinary differential equations：fuzzy initial equation［J］.Soft Computing，2002，6：415－421.

［8］ Nieto J J，Rodrguez－Lpez R，Georgioud D N.Fuzzy differential systems under generalized metric space approach［J］. Dynamic Systems and Applications，2008，17：1－24.

［9］ Xu J P，Liao Z G，Hu Z N.A class of linear differential dynamical systems with fuzzy initial condition［J］.Fuzzy Sets and Systems，2007，157：2339－2358.

［10］ Xu J P，Liao Z G，Nieto J J.A class of linear differential dynamical systems with fuzzy matrices［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2010，368：54－68.

［11］ 王 磊，郭嗣琮.一階線性模糊微分方程組的模糊初值問題［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，29（5）：749－751.

［12］ 王 磊，郭嗣琮.線性生成的完全模糊線性微分系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2012，32（2）：341－348.

［13］ 何吉?dú)g.變分迭代算法：一種新的非線性分析方法［J］.上海力學(xué)，1998，19（3）：260－264.

［14］ He J H，Wu X H.Variational iteration method：New development and applications［J］.Computers and Mathematics with Applications，2007，54：881－894.

［15］ 郭嗣琮，蘇志雄，王 磊.模糊分析計(jì)算中的結(jié)構(gòu)元方法［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2004，18（4）：68－75.