改進的快速復(fù)值FastICA算法研究

趙立權(quán)，于軾群

(1.東北電力大學(xué)信息工程學(xué)院，吉林吉林132012;2.中國聯(lián)通哈爾濱分公司，哈爾濱150001)

獨立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)是解決盲源分離問題的主要方法之一，它僅利用信源信號非高斯相互統(tǒng)計獨立的假設(shè)條件，從接收到的混合信號中估計出信源信號。復(fù)值ICA算法是針對復(fù)值域信號的一種新的信號處理方法，目前主要應(yīng)用于盲解卷積、無線通信、功能性核磁圖像處理、陣列信號處理等方面［1-4］。隨著ICA算法理論的逐漸發(fā)展和成熟，近些年來，復(fù)值ICA算法受到了越來越多學(xué)者的廣泛關(guān)注，涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的算法［3-11］。復(fù)值快速獨立分量分析(Fast Independent Component Analysis，F(xiàn)astICA)一種典型的批處理固定點復(fù)值ICA算法［5］，后來的許多復(fù)值ICA算法都是在它的基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的，典型的改進算法就是基于Huber M估計函數(shù)的復(fù)值ICA算法［7］，該算法相對原算法性能更好，為了進一步提高算法的性能，本文從復(fù)值ICA代價函數(shù)所采用的非線性函數(shù)角度出發(fā)，對穩(wěn)健性更好Tukey雙權(quán)函數(shù)進行修正后作為代價函數(shù)的非線性函數(shù)，推導(dǎo)出運算速度更快的改進的復(fù)值ICA算法。

1 復(fù)值ICA數(shù)學(xué)模型

復(fù)值ICA的基本數(shù)學(xué)模型如下:

ICA的基本假設(shè)條件只是為了保證ICA算法有解，但是畢竟信源信號S和混合矩陣A都未知，因此通過ICA算法得到的信源信號的估計Y相對信源信號S存在一定的不確定性。例如式(1)可以寫成如下形式:

式中:Λ=diag(a1ejθ1，a1ejθ2，…，anejθn)，an和θn為任意不為零的值;Λ－1是Λ的逆矩陣;P是任意可逆的單位置換矩陣;P－1是P的逆矩陣。矩陣Λ和P是任意的，那么得到A'=AΛ－1P－1和S'=PΛS也是任意的，但是A'S'得到的混合信號X是固定的，所以復(fù)值ICA對接收到的信號X進行分離，得到的對信源信號的估計信號可能是S'或者S，S'和S的幅度、相位和順序不一樣，因此產(chǎn)生了復(fù)值ICA對信源信號估計的不確定性。在ICA研究中，人們更多關(guān)注的是信號的波形，只要分離信號和信源信號的波形一樣，就認為算法是有效的。

2 復(fù)值FastICA算法

復(fù)值FastICA算法是由赫爾辛基工業(yè)大學(xué)的Bingham和Hyv?rine仿照實值FastICA算法，提出的一種經(jīng)典的針對復(fù)數(shù)信號ICA算法［5］。該算法是一種批處理的固定點迭代算法，算法不需要設(shè)置學(xué)習(xí)速率，收斂速度快。

復(fù)值FastICA算法和其它批處理ICA方法一樣，都需要對接收數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。設(shè)n維接收信號X=［x1，x2，…，xn］T，為了簡便，假設(shè)接收信號X經(jīng)過預(yù)處理后得到的白化信號為Z=BX，B為白化矩陣。對于白化后的信號的盲分離，復(fù)值FastICA算法選擇“自下而上”的ICA方法構(gòu)造代價函數(shù)，在代價函數(shù)中采用非線性函數(shù)近似高階統(tǒng)計量。其代價函數(shù)定義為:

式中:G為非線性函數(shù);W=［w1，w2，…，wn］T為n維的復(fù)值分離向量;Z為白化后的信號滿足E{ZZH}=I。在復(fù)值獨立分量分析中一般假設(shè)信源信號的幅值為1，WHZ是對信源信號的估計，因此也應(yīng)滿足幅值為1的條件，即E{WHZ2}=E{WHZZHW}=WHW=1，W滿足歸一化條件。

在E{WHZ2}=WHW=I的約束條件下，復(fù)值FastICA算法代價函數(shù)為:

式中:β為拉格朗日乘子;采用牛頓迭代算法對代價函數(shù)式(4)進行優(yōu)化，得到分離向量的迭代公式:

式中:g是G的導(dǎo)數(shù)，g'是g的導(dǎo)數(shù)?？蛇x擇的三種非線性函數(shù)的具體表示式如下［5］:

3 改進的復(fù)值FastICA算法

復(fù)值FastICA算法的穩(wěn)健性好壞取決于所采用的非線性函數(shù)，為了提高算法性能，文獻［7］提出了一種改進的復(fù)值FastICA算法，該算法采用Huber M估計函數(shù)作為代價函數(shù)中的非線性函數(shù)，相對原FastICA算法穩(wěn)健性更好。其所采用的Huber M估計函數(shù)及其一、二階導(dǎo)數(shù)表達式如下:

雖然文獻［7］中采用的非線性函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，但是由于其二階導(dǎo)數(shù)中存在求矩陣的逆，即“u－3/2”項，工程上實現(xiàn)矩陣逆運算比較復(fù)雜，而且增加了計算量。

為了避免矩陣求逆運算，減少計算量，提高算法運算速度，本文采用Tukey函數(shù)作為代價函數(shù)中的非線性函數(shù)［12］。在式(3)和式(5)式中，非線性函數(shù)均以估計函數(shù)的平方作為變量，為此本文對Tukey函數(shù)進行修正，將原變量看作是修正后變量的平方，即修正后的Tukey函數(shù)為

其中:g(u)和g'(u)分別為G(u)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。從上式數(shù)學(xué)表達式可以看出，修正后的Tukey函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不含有矩陣求逆運算，因此減少了計算量。

圖1是Tukey函數(shù)和Huber函數(shù)及其一階和二階導(dǎo)數(shù)，其中Tukey函數(shù)閾值a=2，Huber函數(shù)閾值θ=0.9(文獻［7］中取θ=0.9性能比較理想)。從圖中可以看出，Tukey函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在超過閾值后為常數(shù)，因此對超過閾值的奇異值點有較好抑制性。而Huber函數(shù)超過閾值后為直線，因此對奇異值點抑制性能較差。

圖1 非線性函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

4 實驗仿真和結(jié)果分析

實驗仿真中，采用獨立分量分析算法中常用的

性能指標(biāo)(Performance Index，PI)作為評價函數(shù)，用來度量算法誤差大小的標(biāo)準(zhǔn)，其具體表達式如下:

式中:C=WHBA，W是白化后信號的分離矩陣，B是白化信號，A是混合矩陣。性能指標(biāo)J的取值越小，表示分離誤差越小。

實驗1驗證算法的有效性。

信源信號為一個exp(j100πt)、一個BPSK信號和一個QAM信號，采樣點為1 000點，隨機產(chǎn)生復(fù)值混合矩陣A為:

圖2 信源信號

圖3 復(fù)值混合信號

圖2是信源信號的波形圖，圖3是混合信號，圖4是從復(fù)值混合信號中分離出的信號，即信源信號的估計信號。圖4第一個圖和圖2的第二個圖對應(yīng)、圖4的第二個圖和圖2的第三個圖對應(yīng)、圖4的第三個圖和圖2的第一圖對應(yīng)。對比圖4和圖2可以看出，分離信號和信源信號波形基本一樣，證明了算法的是有效的，同時二者之間存在順序、相位的不確定性，該不確定性是復(fù)值ICA固有不確定性，通過進一步處理后并不影響實際應(yīng)用。

圖4 信源信號的估計信號

實驗2驗證算法的性能。

為了從統(tǒng)計角度驗證算法的性能，在實驗1信源信號的基礎(chǔ)上，進行1 000次運算取平均值，每次運算的復(fù)值混合矩陣都隨機產(chǎn)生，其中基于Huber函數(shù)的FastICA算法門限值取θ=0.9，原FastICA算法采用G1(y)=(a+y)0.5，因為文獻［7］仿真證明此時這個兩種算法性能比較好。本文提出的基于Tukey函數(shù)的FastICA算法門限取。

圖5 采樣與性能指標(biāo)直方圖

圖6 采樣點與運行時間關(guān)系曲線

圖5是采樣點與性能指標(biāo)關(guān)系直方圖。從圖中可以看出，在較低采樣點時本文提出基于Tukey函數(shù)的復(fù)值ICA算法誤差新能要好于其它算法，但是隨著采樣點數(shù)量的增加，本文算法誤差性能與基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法基本一樣，但是始終都比原FastICA算法性能要好。

圖6是得到圖5性能時算法收斂所需的平均運行時間與采樣點關(guān)系曲線，從曲線可以看出三種算法中，本文算法的運行時間最短，證明了本文算法的計算量小。綜合圖5和圖6可得，本文算法誤差性能與基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法性能相當(dāng)，但是比其運行時間短，也就是計算量小。而且在低采樣時，本文算法誤差最小。

4 結(jié)束語

本文在復(fù)值FastICA算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進的復(fù)值FastICA算法。本文算法誤差性能好于原復(fù)值FastICA算法，與基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法相比，本文算法在采樣點較少時誤差性能更好，大采樣點時基本一樣，但是本文算的運算時間明顯小于原FastICA算法及基于Huber函數(shù)的復(fù)值ICA算法，即本文算法的計算量更小。

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