非均勻磁場中Heisenberg XXZ自旋鏈的熱量子失協(xié)＊

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430070）

0 引 言

量子糾纏是一種量子關(guān)聯(lián)，在量子通信和信息處理如量子編碼、量子態(tài)隱形傳態(tài)、量子密鑰分配和量子計(jì)算中起著舉足輕重的作用［1］．隨著研究的深入和理論及應(yīng)用的需要，人們發(fā)現(xiàn)量子糾纏僅僅是一種特殊的量子關(guān)聯(lián)，并沒有完全刻畫經(jīng)典關(guān)聯(lián)與量子關(guān)聯(lián)的本質(zhì)區(qū)別，于是比量子糾纏更一般的的量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象的研究變得迫切起來．2001年H．Oliveier和 W．H．Zurek提出了量子失協(xié)（quantum discord，QD）這個(gè)概念［2］，用于量化量子關(guān)聯(lián)．量子失協(xié)，它是用來量化系統(tǒng)中的所有非經(jīng)典關(guān)聯(lián)．據(jù)觀察，量子失協(xié)是更一般的量子關(guān)聯(lián)度量，它可能包含一個(gè)獨(dú)立的量子糾纏．此外，量子失協(xié)給非經(jīng)典關(guān)聯(lián)提供一個(gè)更大區(qū)域的量子態(tài)，并且提供一個(gè)非零值的量子關(guān)聯(lián)．這種量子關(guān)聯(lián)不是量子糾纏，而是比量子糾纏更一般的量子關(guān)聯(lián)－量子失協(xié)．

近十年來量子失協(xié)已在許多方面受到重視，如熱力學(xué)和關(guān)聯(lián)、量子計(jì)算、失協(xié)的動(dòng)力學(xué)等．特別是，一些文獻(xiàn)研究了在不同的海森堡模型中的熱糾纏和量子失協(xié)［3－5］．結(jié)果表明：對于在有限溫度時(shí)熱量子失協(xié)比熱糾纏更強(qiáng)大，因?yàn)榱孔邮f(xié)在有限溫度下不會(huì)消失，但熱糾纏在一定溫度下完全消失．所以在描述量子關(guān)聯(lián)時(shí)量子失協(xié)比量子糾纏更實(shí)際，而且基于量子失協(xié)的量子算法比那些基于量子糾纏的算法更強(qiáng)大．介于此目的，本文研究了在非均勻磁場中兩量子比特的一維海森堡XXZ自旋鏈的熱量子失協(xié)，通過比較其量子失協(xié)和量子糾纏，探討二者之間存在的差異．

1 量子失協(xié)和量子糾纏

為了描述量子關(guān)聯(lián)，采用兩種類型的度量，包括concurrence和量子失協(xié)．由 Wootters［6］定義的concurrence是計(jì)算2個(gè)量子比特混合態(tài)ρAB的形成糾纏度．它可以由C＝max｝表示．式中：物理量λ1，λ2，λ3，λ4分別是矩陣R＝ρAB（σy?σy）ρA＊B（σy?σy）按降序排列的本征值．C＝0對應(yīng)于沒有糾纏態(tài)，而C＝1為最大糾纏態(tài)．

另一方面，在經(jīng)典信息理論中，對于任意的二分態(tài)，2個(gè)子系統(tǒng)之間的總關(guān)聯(lián)可以用量子相互信息來描述［7］，有

式中：S（ρ）＝tr（ρlbρ）是馮·諾伊曼熵，ρA（B）＝trB（A）ρ是通過追蹤系統(tǒng)B（A）的約化密度矩陣．量子相互信息具有基本物理的重大意義，它通常被用來度量包含量子和經(jīng)典的總關(guān)聯(lián)．對于子系統(tǒng)A和B的經(jīng)典關(guān)聯(lián)可以定義為

式中：L（ρAB｜｛Bk｝）是在量子系統(tǒng)B 上的一個(gè)基于給定度量基｛Bk｝的量子相互信息的變量，即

式中：ρk＝（Ik?Bk）ρAB（Ik?Bk）／pk是在得到結(jié)果k在B 的概率pk＝tr［（Ik?Bk）ρAB（Ik?Bk）］之后對A投影度量態(tài)，Ik是子系統(tǒng)A 的恒等運(yùn)算．當(dāng)子系統(tǒng)B中描述二維希爾伯特空間｛｜0〉，｜1〉｝時(shí)，局部度量的完全集由｛Bk＝V｜k〉｜k〉V＋，（k＝0，1）｝給出，這里任意幺正變換V（θ，φ）（其中θ∈［0，π］，φ∈［0，2π］）為

2 結(jié)果及其討論

非勻強(qiáng)磁場中各向異性的2量子比特－維海森堡XXZ自旋鏈的哈密頓量為

式中：J和Jz為自旋耦合系數(shù)，J＞0和Jz＞0對應(yīng)反鐵磁情況，而J＜0和Jz＜0對應(yīng)鐵磁情況；B為Z方向上均勻磁場；b為Z方向上的非均勻磁場，b值控制其非均勻磁場的梯度，并且σi（i＝x，y，z）是泡利矩陣．

密度矩陣ρAB＝exp（－H／kT）／Z描述在溫度為T 下的熱（正則系綜）平衡系統(tǒng)．式中：Z＝tr｛exp（－H／kT）｝是一個(gè)配分函數(shù)；k是玻耳茲曼常數(shù)，為了簡單起見，假定k＝1．因此，在基矢｛｜00〉，｜01〉，｜10〉，｜11〉｝中，式（6）具有以下形式

通過哈密頓量H可以得到這些非零矩陣元素的精確值為

通常情況下，量子失協(xié)難以計(jì)算，并且無法得到解析解．對于密度矩陣（7）描述的X狀態(tài)，如果

圖1描繪了量子糾纏量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD在不同溫度T下的關(guān)系．從圖中可以看出，在以下3種情況下：（1）無外加磁場（B＝0，b＝0）；（2）均勻磁場（B＝2，b＝0）；（3）非均勻磁場（B＝2，b＝5），量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都隨溫度T的增加而減?。@種行為的原因是最大糾纏態(tài)與其他態(tài)的混合而引起的．然而，顯而易見的是，它們之間存在著一定的差異：量子糾纏concurrence的值在臨界溫度處下降到零時(shí)，而量子失協(xié)QD隨著溫度T漸近地下降到零．由于沒有引進(jìn)退相干，量子關(guān)聯(lián)不會(huì)消失．所以在這個(gè)意義上說，量子失協(xié)在有限溫度下比量子糾纏更強(qiáng)大，在量子計(jì)算和量子通訊中比量子糾纏更現(xiàn)實(shí)．從圖1中還可以發(fā)現(xiàn)，外加磁場，不管是均勻的還是非均勻的，對量子糾纏和量子失協(xié)都有比較顯著的影響．而且從圖1a）中還可以看出，均勻磁場B并不能改變臨界溫度T的值，而非均勻磁場b可以增加臨界溫度T的值．從這一點(diǎn)可以得到：非均勻磁場在有限溫度下有益于量子糾纏．（注：所有參數(shù)都為量綱一量化，圖1～4中的所有參數(shù)都同樣為量綱一量化．）

圖1 與溫度T的關(guān)系（J＝1，Jz＝0．5）

圖2 與均勻磁場B的關(guān)系（J＝1，Jz＝0．5，b＝0）

圖3 與非均勻磁場b的關(guān)系（J＝1，Jz＝0．5，B＝0）

接下來繼續(xù)討論外加磁場（均勻和非均勻）對量子糾纏和量子失協(xié)的影響．圖2描述的是均勻磁場下的情況；圖3描述的是非均勻磁場的情況．從圖中可以看出：量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都關(guān)于均勻磁場｜B｜和非均勻磁場｜b｜在零點(diǎn)處對稱，但兩者有明顯的不同：（1）對于在均勻磁場情況下，如圖2所示，無論溫度T如何變化，量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都隨著｜B｜的增加而減??；當(dāng)然在溫度T超過溫度臨界點(diǎn)的時(shí)候，量子糾纏消失，其concurrence值為0，比如圖2中的較高溫度曲線T＝2．0，而這種情況下在量子失協(xié)上不存在；（2）對于在非均勻情況下，如圖3所示，在較低溫度下，圖3中的較低溫度曲線T＝0．5，量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都隨著｜b｜的增加而較小，兩者的變化趨勢是相同的．但隨著溫度T的增加，如圖3所示，兩者有明顯的差別：量子失協(xié)QD依然隨著｜b｜的增加而減小，而量子糾纏concurrence隨著｜b｜的增加先增加到最大值，然后再隨著｜b｜的增加而減小，concurrence最初值甚至從0開始．因此可以找到一個(gè)在量子糾纏concurrence增加而量子失協(xié)QD減小的區(qū)域，甚至是沒有量子糾纏而量子失協(xié)依然存在的區(qū)域．這是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，可以理解為：在溫度T達(dá)到一個(gè)合適的值時(shí)，一個(gè)合適的外加場可以部分消弱熱漲落的破壞性影響而增強(qiáng)量子糾纏．

圖4 與自旋耦合系數(shù)Jz 的關(guān)系（J＝1，Jz＝0．5，T＝1．0）

最后討論在不同磁場情況下量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD與自旋耦合系數(shù)Jz的關(guān)系．從圖4a）中，無論是有無外加磁場，或外加磁場無論是是均勻的還是非均勻的，都可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)Jz從正值到負(fù)值變化時(shí)，其量子糾纏concurrence的值也在減少，并在Jz的臨界值時(shí)，下降到0．同時(shí)增加非均勻磁場b的值時(shí)，可以增加｜Jz｜的臨界值．但在無外加非均勻磁場的情況下，均勻磁場的增加并不能改變｜Jz｜的臨界值．從圖4b）中，很容易發(fā)現(xiàn)：在無外加磁場的情況（B＝0，b＝0）下，量子失協(xié)QD在｜Jz｜＝±1處產(chǎn)生突變，這表征在此處發(fā)生量子相變，即使是在有限溫度下（通常量子相變發(fā)生在T＝0處）．因此，與圖4a）相比，在有限溫度下，可以用量子失協(xié)QD來檢測量子相變，而量子糾纏concurrence卻不能．可見，量子失協(xié)QD對于在實(shí)驗(yàn)上檢測量子相變有重要意義．在有外加磁場（無論是均勻還是非均勻）的情況下，量子失協(xié)發(fā)生突變的Jz的臨界值向Jz＞1或者Jz＜－1兩端變化，這表明量子失協(xié)依然可以用來檢測量子相變．但隨著外加磁場的增加，可以發(fā)現(xiàn)，量子失協(xié)QD的突變在漸漸消失，這表明量子相變會(huì)在外加磁場的影響下消失．

3 結(jié)束語

本文研究了外加非均勻磁場下一維兩量子比特Heisenberg XXZ自旋鏈中的熱量子失協(xié)，討論了溫度T和外加磁場（包括均勻磁場和非均勻磁場）對其量子失協(xié)的影響，并比較了量子糾纏和量子失協(xié)兩者之間的差異．結(jié)果表明：在相同的物理參數(shù)范圍中，導(dǎo)致量子糾纏猝死的這些因素僅僅加速量子失協(xié)的衰變，而當(dāng)量子糾纏消失時(shí)，量子失協(xié)會(huì)呈現(xiàn)無限趨近于0而不會(huì)消失的現(xiàn)象．因此，量子失協(xié)在退相干環(huán)境下比量子糾纏更強(qiáng)大，在量子關(guān)聯(lián)度量中比量子糾纏更普遍，在量子計(jì)算和量子通信中比量子糾纏更實(shí)用．

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