相空間中非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)動(dòng)力學(xué)逆問題

張毅

(蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011)

0 引言

動(dòng)力學(xué)逆問題是分析力學(xué)研究的一個(gè)重要方面。由于動(dòng)力學(xué)逆問題有非常廣泛的應(yīng)用，并且動(dòng)力學(xué)逆問題的最終解決尚有問題，因此動(dòng)力學(xué)逆問題常常引起力學(xué)家、數(shù)學(xué)家和工程技術(shù)專家的關(guān)注［1］。近年來，關(guān)于約束力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)逆問題的研究已經(jīng)取得了一些重要進(jìn)展［1－8］。Whittaker在其經(jīng)典著作中曾提到Bertrand 得到的一個(gè)結(jié)果［9］:對(duì)于已知結(jié)構(gòu)的完整力學(xué)系統(tǒng)，作用力是未知的(假設(shè)力僅依賴于坐標(biāo)而不依賴于速度)，當(dāng)已知一個(gè)積分時(shí)可以求出未知力來。這是有關(guān)動(dòng)力系統(tǒng)積分的一個(gè)重要性質(zhì)，同時(shí)又是一個(gè)重要的動(dòng)力學(xué)逆問題。Whittaker 指出［9］:但是，這個(gè)積分不能隨意選取，而必須滿足某些條件。盡管如此，這種只用極少信息就可以研究動(dòng)力學(xué)逆問題的方法仍是一個(gè)相當(dāng)好的結(jié)果［1］。Галиуллин［10］引入Еругин 函數(shù)，將結(jié)果加以推廣。文獻(xiàn)［11－12］進(jìn)一步將結(jié)果推廣到非完整力學(xué)系統(tǒng)，文獻(xiàn)［13－14］給出了變質(zhì)量非完整系統(tǒng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相應(yīng)的結(jié)果。但是所有這些結(jié)果都是在位形空間中并且假設(shè)力僅依賴于坐標(biāo)而不依賴于速度的情況下給出的。試圖將Bertrand 的這個(gè)定理推廣到相空間，并且不僅考慮非保守力依賴于廣義坐標(biāo)情況，也考慮非保守力依賴于廣義動(dòng)量的情況。并給出了若干算例加以說明。

1 完整非保守系統(tǒng)的Bertrand 定理

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n 個(gè)廣義坐標(biāo)qs，s =1，…，n，來確定，其所受約束是理想、完整的，系統(tǒng)的廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)為

式中L 為L(zhǎng)agrange 函數(shù)。在正則變量p，q 下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

式中Qs=Qs(t，q，p)為非保守力。

假設(shè)已知非保守系統(tǒng)(2)式的一個(gè)積分

式中ω 對(duì)其所有變量有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)C 為任意常數(shù)時(shí)，(3)式是系統(tǒng)的第一積分;當(dāng)C 為某固定常數(shù)時(shí)，(3)式是系統(tǒng)的特殊積分。將(3)式對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)，并引進(jìn)Еругин 函數(shù)［10］，則有

式中Φ 稱為Еругин 函數(shù)。當(dāng)C 為任意常數(shù)時(shí)，有Φ=0;當(dāng)C 為某固定常數(shù)時(shí)，Φ 為滿足Φ|ω=C=0的任意函數(shù)。Еругин 函數(shù)的引入，對(duì)研究動(dòng)力學(xué)逆問題，特別是建立穩(wěn)定系統(tǒng)和構(gòu)建規(guī)劃運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)具有重要意義［10］。

將(2)式代入(4)式，得到

式中(ω，H)為泊松括號(hào)，有

下面分兩種情況討論。

1)如果非保守力Qs不依賴于廣義動(dòng)量。由于關(guān)系式(5)式僅包含q，p 和t，它對(duì)出現(xiàn)于其中任意獨(dú)立的量，應(yīng)是一個(gè)恒等式。因此，它對(duì)任意一個(gè)廣義動(dòng)量pk的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于0，于是得到

方程(7)式就是我們得到的為確定非保守力Qs的n個(gè)代數(shù)方程。解此代數(shù)方程組，便有可能確定非保守力Qs.如果給定的積分(3)式是系統(tǒng)的一個(gè)第一積分，即C 為任意常數(shù)時(shí)，則(7)式成為

上述結(jié)果可歸為如下命題1.

命題1 對(duì)于完整非保守力學(xué)系統(tǒng)(2)式，假設(shè)非保守力Qs不依賴于廣義動(dòng)量，那么，當(dāng)已知積分(3)式為系統(tǒng)的第一積分時(shí)，非保守力Qs由代數(shù)方程(8)式確定;當(dāng)已知積分(3)式為特殊積分時(shí)，非保守力Qs由代數(shù)方程(7)式確定。

2)如果非保守力Qs不依賴于廣義坐標(biāo)。將關(guān)系式(5)式對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo)qk求偏導(dǎo)數(shù)，得到

如果給定的積分(3)式是系統(tǒng)的一個(gè)第一積分，即C為任意常數(shù)時(shí)，則(9)式成為

于是有

命題2 對(duì)于完整非保守力學(xué)系統(tǒng)(2)式，假設(shè)非保守力Qs不依賴于廣義坐標(biāo)，那么，當(dāng)已知積分(3)式為系統(tǒng)的第一積分時(shí)，非保守力Qs由代數(shù)方程(10)式確定;當(dāng)已知積分(3)式為特殊積分時(shí)，非保守力Qs由代數(shù)方程(9)式確定。

命題1 和命題2 構(gòu)成了完整非保守系統(tǒng)中相空間中的Bertrand 定理。這是文獻(xiàn)［9］中給出的位形空間的Bertrand 定理對(duì)相空間的推廣，并且我們的結(jié)果包含了非保守力僅依賴于廣義坐標(biāo)和僅依賴于廣義動(dòng)量?jī)煞N情況。

例1 研究Emden 問題［15］，其Lagrange 函數(shù)為

取廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)為

已知系統(tǒng)有一個(gè)第一積分［15］

假設(shè)系統(tǒng)的非保守力Q 不依賴于廣義動(dòng)量，則(8)式給出

解之，得

這是本問題的非保守力。

例2 仍研究Emden 問題，其Lagrange 函數(shù)［8］也可表為

通過整合分析發(fā)現(xiàn)：獲得實(shí)習(xí)護(hù)生尊重和喜愛的帶教老師必定德才兼?zhèn)?，不僅應(yīng)具備扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)、臨床能力、教學(xué)能力，還應(yīng)具備一定的教學(xué)熱情和人文關(guān)懷能力。優(yōu)秀的臨床帶教老師應(yīng)能有計(jì)劃、循序漸進(jìn)的講授臨床實(shí)習(xí)要點(diǎn)；安排基礎(chǔ)護(hù)理操作同時(shí)能抓住機(jī)會(huì)鍛煉護(hù)生的?？撇僮骷寄?，如骨脊柱外科軸線翻身、重癥監(jiān)護(hù)室(ICU)封閉式吸痰；在護(hù)生出差錯(cuò)時(shí)換位思考，以激勵(lì)方式引導(dǎo)護(hù)生；多與護(hù)生溝通，關(guān)心愛護(hù)學(xué)生；注重培養(yǎng)護(hù)生交流能力，以身作則引導(dǎo)護(hù)生妥善處理護(hù)患關(guān)系。教學(xué)醫(yī)院應(yīng)根據(jù)教師準(zhǔn)入標(biāo)準(zhǔn)篩選臨床帶教老師，通過時(shí)刻督導(dǎo)、定期培訓(xùn)、適時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)帶動(dòng)臨床帶教老師的教學(xué)熱情。

取廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)為

已知系統(tǒng)有一個(gè)第一積分［15］

如果系統(tǒng)的非保守力Q 不依賴于廣義坐標(biāo)，則(10)式給出

解得

這是本問題的非保守力。

2 非完整非保守系統(tǒng)的Bertrand 定理

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n 個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s =1，…，n)來確定，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受有g(shù) 個(gè)理想Chetaev 型非線性非完整約束

則非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中:L 為L(zhǎng)agrange 函數(shù);Qs為非保守力;λβ為約束乘子。設(shè)系統(tǒng)非奇異，則在運(yùn)動(dòng)微分方程(22)式積分以前，可由方程(21)式和(22)式求出約束乘子λβ作為t，q和非保守力Qs的函數(shù)，有［1］

將(23)式代入(22)式，便消除了乘子λβ，得到n 個(gè)二階常微分方程，稱為相應(yīng)完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng)初始條件滿足非完整約束(21)式時(shí)，相應(yīng)完整系統(tǒng)的解就給出原非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

引入廣義動(dòng)量ps= ?L/?，在正則變量p，q 下約束方程(21)式可寫成

相應(yīng)完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為正則形式

將(26)式對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)，并引入Еругин 函數(shù)Φ，則有

當(dāng)C 為任意常數(shù)時(shí)，有Φ =0;當(dāng)C 為某固定常數(shù)時(shí)，Φ 為滿足Φ|Ω=C=0 的任意函數(shù)。

將方程(25)式代入方程(27)式，有

式中:

下面仍分兩種情況研究。

方程(30)式就是我們得到的相空間中非完整非保守系統(tǒng)為確定其非保守力的n 個(gè)代數(shù)方程。解此代數(shù)方程組，便有可能確定非保守力如果給定的積分(26)式是系統(tǒng)的一個(gè)第一積分，即C 為任意常數(shù)時(shí)，則(30)式成為

于是有

命題3 對(duì)于所論非線性非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)，假設(shè)非保守力不依賴于廣義動(dòng)量，那么，當(dāng)已知積分(26)式為系統(tǒng)的第一積分時(shí)，非保守力由代數(shù)方程(31)式確定;當(dāng)已知積分(26)式為特殊積分時(shí)，非保守力由代數(shù)方程(30)式確定。

如果給定的積分(26)式是系統(tǒng)的一個(gè)第一積分，則(32)式成為

于是有

命題4 對(duì)于所論非線性非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)，假設(shè)非保守力不依賴于廣義坐標(biāo)，那么，當(dāng)已知積分(26)式為系統(tǒng)的第一積分時(shí)，非保守力由代數(shù)方程(33)式確定;當(dāng)已知積分(26)式為特殊積分時(shí)，非保守力由代數(shù)方程(32)式確定。

命題3 和命題4 構(gòu)成了非完整非保守系統(tǒng)中相空間中的Bertrand 定理。這是文獻(xiàn)［1］中給出的位形空間的Bertrand 定理對(duì)相空間的推廣，并且我們的結(jié)果包含了非保守力僅依賴于廣義坐標(biāo)和僅依賴于廣義動(dòng)量2 種情況。

例3 設(shè)非完整系統(tǒng)的位形由廣義坐標(biāo)q1、q2確定，系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

所受的非完整約束為

已知系統(tǒng)有一個(gè)第一積分

式中:k 為某固定常數(shù);h 為任意常數(shù)。假設(shè)非保守力不依賴于廣義動(dòng)量，試求所受的非保守力和

方程(22)式給出

由方程(37)式和(35)式可解得

取廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)為

在正則坐標(biāo)下，約束方程(35)式可寫為

方程(25)式給出

(36)式可表示為

將(42)式對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)，因h 是任意常數(shù)，故Еругин函數(shù)為0，因此有

將方程(41)式代入(43)式，并利用約束(40)式，得到

(45)式給出了本問題的非保守力。

3 結(jié)論

研究了非保守力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)逆問題，將Bertrand 定理推廣到相空間中完整非保守力學(xué)系統(tǒng)和非線性非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)。研究表明:已知相空間中完整非保守系統(tǒng)或非完整非保守系統(tǒng)的一個(gè)第一積分，就有可能確定作用在系統(tǒng)上的非保守力。主要結(jié)果為文中的4 個(gè)命題。

必須指出的是，由文中命題不一定能夠唯一確定所有的非保守力。原因在于:1)當(dāng)已知積分為特殊積分時(shí)，Еругин 函數(shù)除了滿足條件Φ|ω=C=0 或Φ|Ω=C=0 外，仍是任意的;2)在非保守力的確定式中如果不是所有廣義坐標(biāo)或所有廣義動(dòng)量都出現(xiàn)的話，則方程數(shù)將小于n，或者確定式中某些非保守力的系數(shù)為0，在這些情況下，為最終確定非保守力，必須施加其他補(bǔ)充條件，例如關(guān)于穩(wěn)定性或優(yōu)化的限制等。

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