基于狄氏先驗分布的機電產(chǎn)品主要失效模式貝葉斯分析

譚源源，張春華，陳循

(國防科學技術(shù)大學 機電工程與自動化學院，湖南 長沙410073)

0 引言

復雜機電產(chǎn)品通常存在多種失效模式，但各失效模式對產(chǎn)品可靠性的影響程度是不同的，而失效發(fā)生概率高的失效模式(即主要失效模式)的影響程度最大，因此主要失效模式分析在產(chǎn)品可靠性設計、試驗中扮演著非常關(guān)鍵的角色。例如:在產(chǎn)品設計階段，主要失效模式分析可以找出產(chǎn)品薄弱環(huán)節(jié)并進行相應改進，是失效模式影響分析(FMEA)的核心內(nèi)容之一［1］;在對產(chǎn)品進行加速試驗方案設計時，也需要分析主要失效模式，逐步縮小失效機理的分析范圍，進而準確選定加速試驗的應力［2］。

目前常用的主要失效模式分析方法可分為定性分析和定量分析。定性分析主要根據(jù)專家經(jīng)驗、類似產(chǎn)品情況等信息，分析產(chǎn)品潛在的失效模式，并分析哪些是主要失效模式。由于定性分析容易受到主觀意愿的影響，分析精度有限，因此通常在失效數(shù)據(jù)匱乏的情況下(如產(chǎn)品設計階段)采用。而當獲取到產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)之后，可以采用定量分析方法進行主要失效模式分析，以提高分析精度。目前定量分析主要為頻率分析方法［2－4］，即分析失效數(shù)據(jù)中各失效模式的失效個數(shù)占總失效數(shù)的比例，發(fā)生頻率較高的失效模式即為主要失效模式。但是，由于頻率分析的理論基礎(chǔ)是大數(shù)定理，因此在數(shù)據(jù)樣本量較少時并不是最優(yōu)的定量分析方法。

針對這一問題，本文提出了基于Dirichlet 先驗分布的Bayes 方法，適用于在小樣本量場合找出機電產(chǎn)品的主要失效模式。最后通過Monte Carlo 仿真分析和應用算例驗證方法的有效性。

1 主要失效模式定量分析的問題描述

設某產(chǎn)品共有M 種失效模式，編號分別為1，…，M.設失效模式d(d∈{1，…，M})導致產(chǎn)品失效的概率(即發(fā)生概率)為pd，則pd∈(0，1)，1.參數(shù)可表示p=(p1，…，pM).

假設對n 個產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)進行收集，由失效模式d(d∈{1，…，M})引起產(chǎn)品失效的個數(shù)為rd，則rd∈［0，n］且為非負的整數(shù)，數(shù)據(jù)可表示現(xiàn)根據(jù)數(shù)據(jù)進行分析，得到各失效模式發(fā)生概率(p1，…，pM)的估計值進而根據(jù)巴雷特原理確定整機的主要失效模式［5］，即按發(fā)生概率由大到小進行排列，累積發(fā)生概率0～80%的失效模式，歸類為主要失效模式。例如，設失效模式1、2、3 的發(fā)生概率分別為30%、10%和60%，則主要失效模式為失效模式1 和失效模式3.

2 基于Dirichlet 先驗分布的Bayes 分析方法

在小樣本量的情況下，目前常用的頻率分析方法精度很低，而Bayes 方法由于可以結(jié)合專家經(jīng)驗、類似產(chǎn)品情況等多源信息，顯然更為適用。

2.1 Dirichlet 先驗分布

為了能產(chǎn)生性質(zhì)優(yōu)良的先驗分布，需要對參數(shù)p 做適當變換，令

顯然可以得到:

例如，假設某產(chǎn)品有4 種失效模式，發(fā)生概率分別為:p1=0.3，p2=0.1，p3=0.4，p4=0.2，則U0=1，U1=0.7，U2=0.6，U3=0.2，U4=0.

(1)式稱為順序約束形式。對于此類形式，Mazzuchi 等［6］提出可以采用Dirichlet 分布來描述先驗分布，即(U|Ip)服從順序Dirichlet 分布

式中，c 和g=(g1，…，gM)為先驗分布參數(shù)。

由Dirichlet 分布的性質(zhì)可知，其各個邊緣分布均為Beta 分布，即

順序Dirichlet 分布實際上是一個多元Beta 分布，進一步由Beta 分布的性質(zhì)可知

由(2)式和(6)式可以看出，參數(shù)gd實際上為根據(jù)先驗信息Ip得到的pd估計值(^pd|Ip).參數(shù)c反映了技術(shù)人員對這些參數(shù)gd的確信程度，c 值大(小)則得到的先驗標準差小(大)，從而說明對估計值的確信程度高(低)。

2.2 后驗分布

失效數(shù)據(jù)r 的似然函數(shù)為

(7)式可化為

根據(jù)先驗分布和似然函數(shù)，由Bayes 定理可知，(U1，…，UM－1)后驗分布的核為

式中，I0= Ip∪r 為先驗信息和失效數(shù)據(jù)的累積信息。

2.3 基于Gibbs 抽樣的后驗估計值計算

對于聯(lián)合后驗分布(9)式，很難采用數(shù)值積分的方法得到每個Ud的后驗統(tǒng)計。因此，這里采用Gibbs 抽樣方法計算后驗統(tǒng)計(|I0)，進而求出pd的后驗估計值(|I0).

Gibbs 抽樣［7］是一種應用最廣泛的MCMC 方法。它的基本思想是:從滿條件分布中迭代的進行抽樣，當?shù)螖?shù)足夠大時，就可以得到來自聯(lián)合后驗分布的樣本，進而也得到了來自邊緣分布的樣本。

對于聯(lián)合后驗分布(9)式，若給定U(－d)={Uv|v≠d，v=0，1，…，M}，則π(U|I0)僅為Ud的函數(shù)，此時稱π(Ud|U(－d);I0)為Ud的滿條件分布。Gibbs 抽樣過程如下:

設U(0)=(U(0)0，…，U(0)M)，其中，U(0)d，d =0，1，…，M 為任一初值。注意到U0≡1，UM≡0，因此在迭代過程中均保持不變。

Gibbs 抽樣的關(guān)鍵在于如何從各個滿條件分布抽樣。實際應用中滿條件分布往往不是標準分布函數(shù)，對其抽樣存在一定困難，可采用標準取舍抽樣［8］得到滿條件分布抽樣值，其步驟大致如下

步驟1 令d=1，…，M－1，分別從先驗分布的滿條件分布π(Ud|U(－d);Ip)中隨機抽樣Ud，其中

即其服從(Ud+1，Ud－1)上的Beta 分布，通過變量替換

則

(11)式Beta(·，·)為(0，1)上標準Beta 分布，直接抽樣得到Ad，由(13)式反推得到Ud抽樣值

步驟2 產(chǎn)生(0，1)區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)Unif.

步驟3 計算比率

步驟4 若Unif≤Ratio 則認為抽樣值Ud來自滿條件后驗分布并接受;否則拒絕該抽樣值，并重復以上步驟重新進行抽樣。

通過以上方法進行迭代，假設從U(0)出發(fā)，Markov 鏈通過s(s ＜l)次迭代后，可以認為各個時刻的U(l)的邊緣分布都是平穩(wěn)分布π(U|I0)，則稱抽樣收斂了。之前的s 次迭代值因未收斂而應將其舍棄，而采用后面的l－s 個成熟數(shù)據(jù)進行估計

由以上Gibbs 抽樣過程可以看出，判斷抽樣過程何時收斂是一個重要的問題。本文主要采用以下方法:每隔一定迭代次數(shù)計算一次(^Ud|I0)，觀測是否已經(jīng)收斂，當(^Ud|I0)穩(wěn)定后，可認為Gibbs 抽樣收斂了。

3 Monte Carlo 仿真分析

Monte Carlo 仿真分析的目的在于對頻率分析和本文的Bayes 分析方法進行對比，分析這兩種方法的優(yōu)劣及其適用場合。

設某機電產(chǎn)品共有4 種失效模式，其發(fā)生頻率真值p =(0.3，0.1，0.4，0.2).按發(fā)生頻率真值采用Monte Carlo 仿真方法產(chǎn)生失效數(shù)據(jù)，方法如下:產(chǎn)生n 個(0，1)之間的均勻隨機數(shù)，則失效數(shù)據(jù)r1，r2，r3，r4分別為隨機數(shù)數(shù)值在(0，0.3］、(0.3，0.4］、(0.4，0.8］、(0.8，1)區(qū)間的個數(shù)。n 取5、30、100，分別屬于樣本量較小、適中和較大的場合;仿真次數(shù)NMC=200.根據(jù)仿真方案得出仿真數(shù)據(jù)，并利用上述2 種方法進行分析，得出各失效模式的發(fā)生概率估計值為對Bayes 方法作敏感性分析，先驗分布參數(shù)取值分為8 種情況:a)～h)，g和c 的取值如表1所示。設參數(shù)g 的累計絕對誤差則σ|a)=σ|b)=0，σ|c)=σ|d)=0.2，σ|e)=σ|f)=0.4，σ|g)=σ|h)=0.6，σ 越小，先驗信息越準確。

采用NMC次累計絕對誤差的均值

作為分析精度評價標準。顯然，σMC越小估計值越準確，分析精度越高;反之越低。

表1 仿真分析結(jié)果Tab.1 Analysis results of Monte Carlo simulation

對表1的仿真結(jié)果進行分析:

1)敏感性分析。Bayes 方法的分析精度不僅與樣本量有關(guān)，而且與先驗分布參數(shù)的取值有關(guān)，即對先驗分布參數(shù)具有一定的敏感性。

2)有效性分析。在樣本量較小場合(如n=5)，Bayes 方法由于可以結(jié)合有用的先驗信息進行分析，其分析精度比頻率分析更高，表明了方法的有效性。

4 算例

設某型機電產(chǎn)品的潛在失效模式有4 種，編號分別為1～4.為對該產(chǎn)品進行加速貯存試驗，首先需要進行主要失效模式分析，以便針對主要失效模式開展試驗方案設計。

用于主要失效模式定量分析的失效數(shù)據(jù)r =(2，1，2，0)，是由本文第3 節(jié)的仿真方案產(chǎn)生的仿真數(shù)據(jù)。即4 種失效模式的發(fā)生頻率真值p =(0.3，0.1，0.4，0.2)，真值對應的主要失效模式為失效模式1、3、4.

分別采用頻率分析方法和本文的Bayes 方法進行主要失效模式分析。其中，Bayes 分析的先驗分布參數(shù)則取3 000～10 000 次的Gibbs 抽樣數(shù)據(jù)計算后驗均值圖1所示為U1的先驗邊緣分布π(U1|Ip)(均值和后驗邊緣分布π(U1|I0)(均值圖2所示為U1后驗邊緣分布的抽樣值。

圖1 U1 的先驗邊緣分布和后驗邊緣分布Fig.1 Gibbs Sampling of marginal posterior distribution of U1

圖2 U1 后驗邊緣分布的抽樣值Fig.2 Marginal prior and posterior distributions of U1

分析結(jié)果如表2所示。由于失效數(shù)據(jù)r 屬于小樣本量場合，若采用頻率分析方法，得到的主要失效模式為失效模式1、3，漏掉了失效模式4.按第3 節(jié)的分析結(jié)論，在樣本量較小場合宜采用Bayes 方法進行分析，從而確定該產(chǎn)品的主要失效模式為失效模式1、3、4，這與真值對應的主要失效模式一致。

5 結(jié)論

本文提出了分析機電產(chǎn)品主要失效模式的Bayes 方法，通過Dirichlet 先驗分布有效結(jié)合專家經(jīng)驗、類似產(chǎn)品情況等信息。Monte Carlo 仿真對比分析和算例結(jié)果表明:相對于目前常用的頻率分析方法，Bayes 方法由于可以擴大信息量，在失效數(shù)據(jù)樣本量較小場合更為適用。在實際應用當中應當根據(jù)樣本量的充足程度，選擇合適的分析方法。

表2 算例仿真數(shù)據(jù)和各失效模式發(fā)生概率分析結(jié)果Tab.2 Simulation data and analysis results on occur probability of each failure mode in example

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