動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣一致性及修正

劉勝，張玉廷，于大泳

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

層次分析法(AHP)自T.L.Saaty 教授提出以來(lái)，已廣泛應(yīng)用并成為系統(tǒng)建模與評(píng)估的重要理論和方法之一［1－3］。但傳統(tǒng)的AHP 方法在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)沒有考慮人判斷的模糊性和所評(píng)估系統(tǒng)的時(shí)變性。而實(shí)際系統(tǒng)卻恰恰是一個(gè)時(shí)刻變動(dòng)著的系統(tǒng)。隨著人們對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)分析研究的深入，這兩個(gè)不足之處在一定程度上制約了AHP 方法的應(yīng)用。

為解決上述不足，許多專家學(xué)者進(jìn)行了研究改進(jìn)，包括采用模糊區(qū)間數(shù)［4－6］和動(dòng)態(tài)判斷矩陣［7－8］對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估。但目前對(duì)模糊動(dòng)態(tài)區(qū)間判斷矩陣的研究，包括判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)、矩陣元素修正和權(quán)值排序仍不是很成熟。文獻(xiàn)［9］研究了區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的一致性問題，但其所考慮的兩端點(diǎn)區(qū)間數(shù)無(wú)法表征決策者在判斷區(qū)間內(nèi)的偏好信息;文獻(xiàn)［10］的基于可能度的排序方法的合理性還有待于進(jìn)一步驗(yàn)證。并且上述文獻(xiàn)中判斷矩陣都沒有考慮系統(tǒng)的時(shí)變性。文獻(xiàn)［11］和［12］研究了模糊動(dòng)態(tài)AHP 法，通過(guò)構(gòu)建動(dòng)態(tài)模糊規(guī)劃模型進(jìn)行分析。但該方法的計(jì)算過(guò)程太過(guò)復(fù)雜，并且僅對(duì)判斷矩陣的中心值進(jìn)行調(diào)整，缺少一種全局優(yōu)化的概念。

鑒于此，本文從全局優(yōu)化角度出發(fā)，將動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)、矩陣元素修正和權(quán)值排序作為一個(gè)整體考慮，保證在對(duì)初始判斷矩陣做最小程度修正的基礎(chǔ)上使得判斷矩陣滿足一致性要求，并給出權(quán)值排序。并采用小生境遺傳算法在提高全局尋優(yōu)能力的基礎(chǔ)上對(duì)建立的非線性目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。

1 判斷矩陣及一致性

若a=(al，am，au)，且al、au和am分別為a 所支撐的下界、上界和中值，則稱a 為三角模糊數(shù)［13］。其隸屬度函數(shù)為

若三角模糊數(shù)a 中的元素是一個(gè)時(shí)變量，則ad=(ald，amd，aud)為動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)，如圖1所示。動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)ad的支撐下界ald、上界aud和中值amd是一個(gè)動(dòng)態(tài)值，并且滿足

圖1 動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)Fig.1 Dynamic triangular fuzzy number

動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)具有以下運(yùn)算法則［10］

對(duì)有限論域U 中的方案集X，若X 中的動(dòng)態(tài)元素xid和xjd兩兩對(duì)比的偏好信息aijd為動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)，則由aijd組成的判斷矩陣A =［aijd］n×n為動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)判斷矩陣。

若動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)判斷矩陣A =［aijd］n×n中的元素aijd=(alijd，amijd，auijd)滿足［11］

式中，0 ＜alijd≤amijd≤auijd，i，j∈N，則矩陣A 為動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣。

若互反判斷矩陣滿足完全一致性，則［3］

式中，ωi為第i 個(gè)指標(biāo)相對(duì)于其他指標(biāo)的重要程度，即為權(quán)重。

對(duì)動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣，如果其滿足完全一致性，則按照(6)式，以及(3)式和(4)式的動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)運(yùn)算法則，有

(7)式即為動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣的完全一致性條件。

2 判斷矩陣一致性檢驗(yàn)、矩陣元素修正及權(quán)值排序

2.1 動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣一致性指標(biāo)系數(shù)

將(7)式的動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣的完全一致性條件展開，為

定義兩個(gè)動(dòng)態(tài)三角區(qū)間數(shù)ad=(ald，amd，aud)和bd=(bld，bmd，bud)的相似度［14］為

式中，s(ad，bd)≥1，s(ad，bd)越小，表示兩個(gè)動(dòng)態(tài)三角區(qū)間數(shù)的相似程度越大，當(dāng)s(ad，bd)=1 時(shí)，表示兩個(gè)三角區(qū)間數(shù)相等。

因此，如果動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣滿足(8)式的完全一致性條件，則矩陣元素的動(dòng)態(tài)區(qū)間數(shù)相似度應(yīng)為1。即

實(shí)際上由于系統(tǒng)的復(fù)雜性和人們判斷的模糊性，(10)式是很難滿足的。為使判斷矩陣盡可能表征所分析的系統(tǒng)，應(yīng)該使下式成立

即要使判斷矩陣具有滿意一致性。

如果判斷矩陣不具有完全一致性或滿意一致性，則需要對(duì)判斷矩陣的元素進(jìn)行調(diào)整，使其滿足一致性條件。但由于初始判斷矩陣中含有專家信息，所以希望最大程度的保留初始判斷矩陣中的專家信息，即要對(duì)判斷矩陣的元素做最小程度的調(diào)整。假設(shè)初始判斷矩陣中的元素為aijd=(alijd，amijd，auijd)，修正后的判斷矩陣元素為a'ijd=(a'lijd，a'mijd，a'uijd)，為了對(duì)初始判斷矩陣的元素做最小程度的調(diào)整，修正后的判斷矩陣元素和初始判斷矩陣元素的動(dòng)態(tài)區(qū)間數(shù)相似度應(yīng)最大，即要使得下式成立

因此，對(duì)動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)、矩陣元素調(diào)整和權(quán)值排序時(shí)，矩陣元素需要同時(shí)滿足(11)式和(12)式。反映到整個(gè)判斷矩陣，則要使下式成立

式中，CIC 為一致性指標(biāo)系數(shù)。

(13)式是一種全局優(yōu)化模型，將動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)、矩陣元素修正和權(quán)值排序作為一個(gè)整體處理，它可以充分利用判斷矩陣的信息，在對(duì)初始判斷矩陣做最小程度修正的基礎(chǔ)上使得修正后的判斷矩陣滿足滿意一致性。

采用(13)式計(jì)算得到的排序向量也是三角模糊數(shù)，即ωi=(ωli，ωmi，ωui).為了對(duì)權(quán)值進(jìn)行排序，采用下式［15］進(jìn)行計(jì)算

α 值的選擇取決于決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，當(dāng)α ＞0.5 時(shí)，表明決策者追求風(fēng)險(xiǎn);當(dāng)α =0.5 時(shí)，表明決策者風(fēng)險(xiǎn)中立;當(dāng)α ＜0.5 時(shí)，表明決策者厭惡風(fēng)險(xiǎn)。

采用1～9 標(biāo)度法，結(jié)合(14)式可得到(13)式的約束條件為

1.2.1 循證護(hù)理小組 成立循證護(hù)理小組，小組成員包括2名主管護(hù)理人員、2名資深護(hù)理人員以及8名普通護(hù)理人員。小組在組建之后要對(duì)所有成員采取系統(tǒng)專業(yè)的循證護(hù)理培訓(xùn)[2]，保證每一位小組成員都能掌握循證護(hù)理的相關(guān)方法，為循證護(hù)理的實(shí)施打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

2.2 基于遺傳算法的一致性指標(biāo)系數(shù)優(yōu)化求解

(13)式和(15)式屬于非線性優(yōu)化問題，采用常規(guī)方法較難求解，因此考慮采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。但簡(jiǎn)單遺傳算法的選擇策略由于缺乏多樣性保護(hù)機(jī)制，所以往往收斂于局部最優(yōu)解［16］。為此，在簡(jiǎn)單遺傳算法的基礎(chǔ)上引入小生境技術(shù)來(lái)提高種群多樣性，保證算法尋得全局最優(yōu)解。

圖2是小生境遺傳算法的流程圖。采用共享函數(shù)機(jī)制來(lái)實(shí)現(xiàn)小生境技術(shù)。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flow process chart of the algorithm

經(jīng)過(guò)基本遺傳算法和記憶得到含有M+N 個(gè)個(gè)體的新群體，采用下式求出兩個(gè)個(gè)體之間的海明距離

當(dāng)海明距離小于某一指定距離時(shí)，對(duì)Xi和Xj中適應(yīng)度較低的個(gè)體處以罰函數(shù)。這樣適應(yīng)度差的個(gè)體經(jīng)過(guò)罰函數(shù)處理后適應(yīng)度更差，在后續(xù)進(jìn)化中被淘汰的概率也越大。從而達(dá)到維護(hù)種群多樣性和保證個(gè)體在約束空間中分散開來(lái)的目的。

3 算法分析

3.1 算法復(fù)雜性分析

從(13)式中可以看出，隨著矩陣維數(shù)的增加，所要優(yōu)化求解的參數(shù)個(gè)數(shù)也隨之增多，這必然導(dǎo)致采用遺傳算法求解(13)式時(shí)種群規(guī)模增大，使得計(jì)算時(shí)間增長(zhǎng)。

假設(shè)種群規(guī)模為n，進(jìn)行一次選擇、交叉和變異的時(shí)間分別為te、tc和tm，計(jì)算一次適應(yīng)度的時(shí)間為ts，計(jì)算一次個(gè)體距離的時(shí)間為td，做一次罰函數(shù)時(shí)間為tp，則每一進(jìn)化代算法的總時(shí)間為

如果動(dòng)態(tài)判斷矩陣取k 個(gè)評(píng)估判斷時(shí)刻，則算法的總時(shí)間復(fù)雜度為

由于實(shí)際應(yīng)用中，判斷矩陣一般不超過(guò)9 階，故各隨機(jī)構(gòu)造100 個(gè)3～9 階三角動(dòng)態(tài)模糊數(shù)互反判斷矩陣，每個(gè)判斷矩陣取10 個(gè)判斷時(shí)刻，采用(13)式中的模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。算法程序在CPU 時(shí)鐘頻率為3.00 GHz 的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，得到每個(gè)時(shí)刻平均計(jì)算時(shí)間如圖3所示

圖3 3～9 階矩陣運(yùn)行時(shí)間Fig.3 Running time of 3～9 order matrixes

從圖3可以看出，計(jì)算時(shí)間隨著矩陣維數(shù)的增加而增加。但在矩陣維數(shù)不超過(guò)9 階的情況下，本文的計(jì)算方法可以滿足離線評(píng)估判斷的要求。對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)的評(píng)估，可由評(píng)估專家針對(duì)系統(tǒng)在不同工作時(shí)間、不同工作年限的特性經(jīng)驗(yàn)給出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)評(píng)估判斷矩陣，然后采用本文算法進(jìn)行研究計(jì)算。這類系統(tǒng)評(píng)估不需要滿足實(shí)時(shí)性要求，故本文離線評(píng)估方法在時(shí)變系統(tǒng)評(píng)估中是可行的。

3.2 算法穩(wěn)定性分析

將上述各隨機(jī)構(gòu)造的100 個(gè)3～9 階矩陣的上三角矩陣任一元素在［aij－βaij，aij+βaij］∩［0，1］內(nèi)變動(dòng)，其中β∈［0，1］為相對(duì)變動(dòng)率，判斷矩陣下三角元素由(5)式得出。采用(13)式進(jìn)行排序權(quán)值的計(jì)算。當(dāng)β 分別取10%、30%和50%時(shí)統(tǒng)計(jì)排序權(quán)值的最大相對(duì)變化率，得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 排序權(quán)值最大相對(duì)變換率Tab.1 Maximum relative change rates of weights

從表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，在β 分別為10%、30%和50%時(shí)，排序權(quán)值的最大相對(duì)變化率在18.2%以內(nèi)。這表明本文方法在權(quán)值排序計(jì)算方面具有穩(wěn)定性。當(dāng)判斷矩陣元素受擾動(dòng)時(shí)，本文方法計(jì)算得到的排序權(quán)值與原判斷矩陣的排序權(quán)值十分接近。

3.3 算例分析

以文獻(xiàn)［11］中的算例為例進(jìn)行分析。某市為修筑管路使三個(gè)地下水源為三家工廠供水，需探索優(yōu)化供水方案，以保證使不同時(shí)期的供水效益最大。該問題不需要滿足在線實(shí)時(shí)評(píng)估要求，可采用離線評(píng)估方法解決，本文評(píng)估方法的計(jì)算時(shí)間可滿足要求，故可采用本文算法進(jìn)行分析。限于篇幅原因，僅以政府決策部門給出的各水源地相對(duì)工廠1 的動(dòng)態(tài)模糊效益判斷矩陣A1(t)為例。

將A1(t)轉(zhuǎn)化為(13)式和(15)式的優(yōu)化函數(shù)和約束條件。采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。其中，種群大小為54，按照尺度值的整數(shù)部分和隨機(jī)均勻選擇尺度值的小數(shù)部分選擇父輩，交叉概率為0.8，變異概率為0.05，罰函數(shù)為10－5.遺傳算法進(jìn)化60代。決策者風(fēng)險(xiǎn)中立，即α=0.5.當(dāng)t 取1～10 時(shí)，一致性指標(biāo)系數(shù)和權(quán)值變化分別如表2和圖4所示。

表2 一致性指標(biāo)系數(shù)Tab.2 Consistency index coefficients

從表2中可以看出，當(dāng)t 從1 取到10 時(shí)，一致性指標(biāo)系數(shù)均小于0.1，所以修正后的判斷矩陣滿足滿意一致性要求。圖4清晰表現(xiàn)出了三個(gè)方案的權(quán)值變化情況。

在矩陣修正程度比較中，由于互反判斷矩陣的性質(zhì)，只需比較上三角元素的修正程度。限于篇幅原因，以t 取5 時(shí)的判斷矩陣為例，初始判斷矩陣的上三角矩陣為

修正后的上三角矩陣為

圖4 權(quán)重變化Fig.4 Changes of weights

從A1(5)和A'1(5)的對(duì)比可以看出，A'1(5)僅對(duì)A1(5)中的4 個(gè)元素進(jìn)行了修正，且修正程度分別為0.003 8%、0.005 6%、0.046%和0.004 5%，修正程度很小。

從以上的算例分析可以看出，基于遺傳算法的動(dòng)態(tài)三角模糊互反判斷矩陣一致性檢驗(yàn)、矩陣元素修正和權(quán)值排序可以在對(duì)初始判斷矩陣做很小程度修正的基礎(chǔ)上，使得修正后的判斷矩陣滿足滿意一致性要求，并可給出權(quán)值排序。與文獻(xiàn)［11］相比，本文方法避免了復(fù)雜的模糊規(guī)劃模型的建立和求解，大大降低了排序權(quán)值的求解難度。

4 結(jié)論

本文對(duì)動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)、矩陣元素修正和權(quán)值排序進(jìn)行了研究。提出的動(dòng)態(tài)三角模糊數(shù)互反判斷矩陣一致性指標(biāo)系數(shù)函數(shù)和基于小生境遺傳算法的優(yōu)化求解方法屬于一種全局優(yōu)化方法，可以在充分利用初始判斷矩陣信息的基礎(chǔ)上，使修正后的判斷矩陣滿足一致性條件，給出權(quán)值排序。提高了算法的全局尋優(yōu)能力。對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估是針對(duì)給出的動(dòng)態(tài)評(píng)估判斷矩陣得出在不同工作時(shí)刻或不同工作年限時(shí)的系統(tǒng)信息，這一過(guò)程不必滿足在線實(shí)時(shí)評(píng)估的要求，故本文方法對(duì)研究離線評(píng)估復(fù)雜時(shí)變系統(tǒng)具有促進(jìn)意義。

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