具時滯及分段常數(shù)變量蒼蠅模型的Flip分支

黃曉宇， 陳斯養(yǎng)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710062)

0 引言

Zhang B G 和 Xu H X 在[1]中提出并研究了下列具時滯離散蒼蠅模型

Nn+1-Nn=-δNn+pNn-ke-aNn-k,

n=0,1,2,…

(1)

正平衡態(tài)的全局吸引性，并得到了正平衡態(tài)N*作為全局吸引子的條件與結(jié)論,其中p,a為正常數(shù)，δ∈(0,1),k∈N={0, 1, 2,…}.

Gyori I 和 Trofimchuk S I 在[2]中討論了下列差分方程

Xn+1-Xn=-αXn+qf(Xn-k),

n=0,1,2,…

(2)

的全局吸引性，并給出了全局吸引的充分條件.其中α,q為正常數(shù)，k∈N={0, 1, 2, …}.

Tkachenko和Trofimchuk在[3]中討論了下列具多個時滯量的蒼蠅模型

n=0,1,2,…

(3)

本文給出具有時滯及分段常數(shù)變量的蒼蠅模型

t≥0

(4)

模型(4)滿足初始條件

N(0)=N0>0,N(-j)=N-j≥0,

j=1,2,3,…,m

(5)

為了便于對模型(4)進(jìn)行研究，對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?(4)的等式兩邊同時乘以eat可得

=beatN([t-m])e-rNα([t-m])

(6)

當(dāng)t∈[n,n+1),n=0,1,2,…時，將等式(6)兩邊在區(qū)間[n,t)上積分，整理可得

N(t)=N(n)ea(n-t)

(7)

令t→n+1，可得時滯差分方程模型

N(n+1)=e-aN(n)

(8)

本文討論m=0,1,2時模型(8)正平衡態(tài)的局部漸近穩(wěn)定性，并對Flip分支進(jìn)行分析.

1 正平衡態(tài)的存在性及局部穩(wěn)定性

(9)

將(9)在x=0處進(jìn)行Taylor展開，可得其線性近似系統(tǒng)為

x(n+1)= e-ax(n)

(10)

由(10)得特征方程

(11)

由差分方程平衡態(tài)的穩(wěn)定性定義知，當(dāng)且僅當(dāng)所有的特征根滿足|λi|<1,i=1,2,3,…,m+1，正平衡態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的.

2 分支的存在性

由分支理論[4]可知，對應(yīng)于特征值λ=-1的分支稱為Flip分支，F(xiàn)lip分支只當(dāng)m≥0時才有可能.這一節(jié)選取b作為分支參數(shù)來討論模型(8)的Flip分支的存在性.

證明：對于特征方程(11)，令

3 分支的方向及其穩(wěn)定性

若模型(8)存在Flip分支，則這一部分利用[4]中的限制規(guī)范化理論和中心流形的計算方法研究和討論分支的方向及其穩(wěn)定性.

現(xiàn)將(8)等價轉(zhuǎn)化為m+1維差分方程組

(12)

為了研究(8)的分支方向及其穩(wěn)定性，將(12)書寫為如下形式

其中，A0為m+1維方陣，Q(x)=O(‖x‖2) 是光滑函數(shù)，在x=0處，Q(x)的Taylor展開為

其中E和F是多重線性函數(shù)，對平面向量

x=(x1,x2,…,xm+1)T,y=(y1,y2,…,ym+1)T和

z=(z1,z2,…,zm+1)T取值，在坐標(biāo)下的分量分別為

其中i=1,2,3,…,m+1.

作變量變換

將(12)轉(zhuǎn)化為

(13)

將(13)的第一個方程在ξ2(n)=0處進(jìn)行Taylor展開，得到等價方程組

(14)

此系統(tǒng)可表示為

(15)

其中

向量

ρ～(1,1,-1,1,…,-1)T

σ～(1,1+e-a,-(1+e-a),1+e-a,…,-(1+e-a))T

為了使向量ρ和σ達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)化

〈ρ,σ〉=ρ1σ1+…+ρm+1σm+1=1

可取

ρ=(1,1,-1,1,…,-1)T,

多重線性函數(shù)E和F對平面向量

γ=(γ1，γ2，…，γm+1)T,η=(η1，η2，…，ηm+1)T

和ζ=(ζ1，ζ2，…，ζm+1)T取值為

而

系統(tǒng)(15)在中心流形上的限制規(guī)范化形式為

其中

計算該系數(shù)可得

>0

而h0決定了Flip分支的方向及其穩(wěn)定性.

定理3.1由于h0>0，若模型(8)存在Flip分支，則存在唯一穩(wěn)定的、超臨界的Flip分支.

推論3.1當(dāng)m=0時，該臨界規(guī)范形系數(shù)為

>0

故模型(8)存在唯一穩(wěn)定的、超臨界的Flip分支.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)將應(yīng)用MATLAB 7.0[6]進(jìn)行數(shù)值模擬，通過圖形對模型(8)進(jìn)行分支分析,并通過圖形來體現(xiàn)(8)復(fù)雜的動力學(xué)行為,其中包括周期倍分和混沌現(xiàn)象等.下面通過實例,驗證文中所得定理與數(shù)值計算的一致性.

例1 在(8)中，令m=0，α=1，a=1，r=1，可得

N(n+1)=e-1N(n)+b(1-e-1)N(n)e-N(n)

(16)

其中，b為分支參數(shù).

根據(jù)以上所得到的結(jié)果，可知模型(8)的穩(wěn)定性隨著參數(shù)b大小的變化而變化.所以，應(yīng)該適當(dāng)?shù)目刂坪驼{(diào)整單個蒼蠅的最大日產(chǎn)卵率，有助于維護(hù)蒼蠅種群的生態(tài)平衡，也有利于該單種群生態(tài)系統(tǒng)持久而穩(wěn)定的發(fā)展.

圖1 當(dāng)b=23.6

圖2 b>b0時的分支周期解

圖3 b>b0時的Flip分支圖

圖4 b>b0且a=1.15時的Flip分支圖

圖5 b>b0且a=0.95時的Flip分支圖

圖6 b>b0且a=1.05時的Flip分支圖

圖7 b>b0且a=0.95時的Flip分支圖

圖8 b>b0且r=1.3時的Flip分支圖

圖9 b>b0且r=0.8時的Flip分支圖

例5 在(8)中，令m=0，a=1，α=0.95，r=1

[1] Zhang B G,Xu H X.A note on the global attractivity of a discrete model of Nicholson′s blowflies[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,1999,(3):51-55.

[2] Gyori I,Trofimchuk S I.Global attractivity and persistence in a discrete population model[J].J.Diff.Equ.Appl,2000,6(6):647-665.

[3] Tkachenko V,Trofimchuk S.Global stability in difference equations satisfying the generalized Yorke condition[J].J.Math.Anal.Appl,2005,303(1):173-187.

[4] [俄]尤里.阿.庫茲涅佐夫.應(yīng)用分支理論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社,2004.

[5] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社, 2004.

[6] 薛定宇, 陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解(第二版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.